Question

Докажите, что многочлен не имеет действительных корней:
а) x^6-5x^3+7
б) x^4-x+2

Answer 1

То есть, другими словами: нужно найти дискриминант в данных выражениях, приравняв уравнение к нолю.
а) $x^6-5x^3+7$
Делаем замену: x^3=y;
$y^2-5y+7=0;$
Находим дискриминант:
$y^2-5y+7=0;\ D=b^2-4*a*c=25-4*7=25-28=-3;$
Т.к. дискриминант получается отрицательным, то уравнение относительно переменной игрек, а значит и икс решений не имеет.
б) $x^4-x+2=0;$
Тут увы, сделать замену нельзя. Подумаем логически. Чтобы уравнение имело корень, оно должно занулиться. Перебрасываем 2 в правую часть. смотрим:
$x^4-x+2=0;\ x^4-x=-2;$
Такого по сути быть не может, ибо любое число, пусть даже отрицательное, возведенное в положительную степень будет положительно, и при вычитании никак отрицательного дать не может. Следовательно - уравнение не имеет решений.