Question

Упростить и найти числовое значение выражения

Answer 1

Преобразуем числитель. И воспользуемся формулой произведения косинуса на синус и косинуса на косинус.

$tg( alpha +15)+tg( alpha -15)= frac{sin( alpha +15)}{cos( alpha+15)} +frac{sin( alpha -15)}{cos( alpha-15)} =$

$= frac{sin( alpha +15)*cos( alpha-15)+sin( alpha -15)*cos( alpha-15)}{cos( alpha+15)*cos( alpha-15)} =$

$= frac{frac{1}{2}(sin2 alpha +sin30)+frac{1}{2}(sin2 alpha+sin(-30) )}{ frac{1}{2}(cos2 alpha + cos30)} = frac{2sin2 alpha}{cos2 alpha + cos30}$

Преобразуем знаменатель.
$tg( alpha +15)-tg( alpha -15)= frac{sin( alpha +15)}{cos( alpha+15)} - frac{sin( alpha -15)}{cos( alpha-15)} =$

$= frac{sin( alpha +15)*cos( alpha-15)-sin( alpha -15)*cos( alpha-15)}{cos( alpha+15)*cos( alpha-15)} =$

$= frac{frac{1}{2}(sin2 alpha +sin30)-frac{1}{2}(sin2 alpha+sin(-30) )}{ frac{1}{2}(cos2 alpha + cos30)} = frac{2sin30}{cos2 alpha + cos30} =frac{1}{cos2 alpha + cos30}$

Находим отношение
$frac{frac{2sin2 alpha}{cos2 alpha + cos30} }{frac{1}{cos2 alpha + cos30}}=2sin2 alpha$

К полученному выражению добавляем оставшиеся члены, т.е. вычитаем 2sin2α и 1,1
$2sin2 alpha-2sin2 alpha-1,1=-1,1$