Question

при каких значениях m уравнение f(x)=m имеет четыре различных корня ,где f(x)=|x^2+2x-8|

Answer 1

Для начала заметим, что m≥0 (иначе уравнение не имеет решений). Затем раскроем модуль в уравнении. Получим:
$left [ {{x^2+2x-8=m} atop {x^2+2x-8=-m}} right. \ left [ {{x^2+2x+(-8-m)=0} atop {x^2+2x+(m-8)=0}} right.$
Если эта совокупность имеет 4 решения, то дискриминанты каждого из этих уравнений должны быть положительны:
$D_1=4+32+4m=36+4m textgreater 0 Rightarrow m textgreater -9\ D_2=4+32-4m=36-4m textgreater 0Rightarrow m textless 9$

Также вспомним, что m≥0 и получим, что m∈[0;9).
Теперь проверим, при каких m из данного промежутка могут совпасть какие-то из корней этих уравнений:
$x_{1,2}={-2pmsqrt{36+4m}over2}=-1pmsqrt{9+m}\x_{3,4}={-2pmsqrt{36-4m}over2}=-1pmsqrt{9-m}\ -1+sqrt{9+m}=-1+sqrt{9-m}Rightarrow m=0\ -1-sqrt{9+m}=-1-sqrt{9-m}Rightarrow m=0$
Другие две пары рассматривать не имеет смысла:
$sqrt{9-m}=-sqrt{9+m}Rightarrow left { {{9-m=0} atop {9+m=0}} right. Rightarrow min varnothing$

Итог: m∈(0;9)