Question

Докажите неравенство b(a^2+1)+a(b^2+1) больше или равно 4ab (a больше или равно нулю; b больше или равно нулю)
Подробно
30 баллов

Answer 1

b(a² + 1) + a(b² + 1) ≥ 4ab

1) b(a² + 1) ≥ 2ab
b(a² + 1) - 2ab ≥ 0
b(a² - 2a + 1) ≥ 0
b(a - 1)² ≥ 0       
Т.к. b ≥ 0, (a - 1)² ≥ 0, то неравенство верно

2) a(b² + 1) ≥ 2ab    
a(b² + 1) - 2ab ≥ 0   
a(b² - 2b + 1) ≥ 0         
a(b - 1)² ≥ 0
Т.к. a ≥ 0, (b - 1)² ≥ 0, то неравенство верно

Складывая неравенства (1) и (2), получаем:
b(a² + 1)  + a(b² + 1)  ≥ 2ab + 2ab
b(a² + 1)  + a(b² + 1)  ≥ 4ab, что и требовалось доказать