Question

Розвяжіть нерівність
1/2-x + 5/2+x < 1

Answer 1

Упрощаем выражение:

$cfrac{1}{2-x}+cfrac{5}{2+x} = cfrac{1cdot (2+x)+5cdot (2-x)}{(2-x)cdot(2+x)}=cfrac{2+x+10-5x}{2^2-x^2}=cfrac{12-4x}{4-x^2}$

Переносим 1 в левую часть:

$cfrac{12-4x}{4 - x^2} -1 textless 0$

Приводим к общему знаменателю:

$cfrac{12-4x-4 + x^2}{4 - x^2} textless 0$

$cfrac{x^2-4x+8}{4-x^2} textless 0$

Разберёмся с числителем, вычислим дискриминант:

$D = b^2-4ac = 4^4-4cdot 8 = 16 - 32 = -16$

Дискриминант меньше нуля, значит действительных корней нет (функция в числителе не пересекает ноль). Подставив x=0 в числитель получаем 8, а 8 это число больше 0. Значит функция в числителе всегда положительна и на неравенство не влияет.

Получается что неравенство выполняется когда знаменатель меньше 0.

$4 - x^2 textless 0$

$(2-x)cdot (2+x)  textless 0$

Ответ: неравенство выполняется при X>2 и при X<(-2)