Ответы
Ответ дал:
0
Первый раз сталкиваюсь с таким заданием, но оно не особо сложное:
Для решения данного дифференциального уравнения потребуется такая вещь, как интегрирующий множитель μ.
![(1-2xy)frac{dy}{dx}=y(y-1)|*dx\(1-2xy)dy=(y(y-1))dx\(y(y-1))dx+(2xy-1)dy=0\frac{delta P}{delta y}=2y-1\frac{delta Q}{delta x}=2y (1-2xy)frac{dy}{dx}=y(y-1)|*dx\(1-2xy)dy=(y(y-1))dx\(y(y-1))dx+(2xy-1)dy=0\frac{delta P}{delta y}=2y-1\frac{delta Q}{delta x}=2y](https://tex.z-dn.net/?f=%281-2xy%29frac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Dy%28y-1%29%7C%2Adx%5C%281-2xy%29dy%3D%28y%28y-1%29%29dx%5C%28y%28y-1%29%29dx%2B%282xy-1%29dy%3D0%5Cfrac%7Bdelta+P%7D%7Bdelta+y%7D%3D2y-1%5Cfrac%7Bdelta+Q%7D%7Bdelta+x%7D%3D2y)
Как видим, на полный дифференциал не тянет, вот тут нам и поможет множитель, только его надо сначала найти.Суть множителя в том, что при умножении на него каждой из частей дифференциал будет полным, и соответственно решать его будем как полный.
![frac{(frac{delta Q}{delta x}-frac{delta P}{delta y})}{P}=frac{2y-2y+1}{y(y-1)}=frac{1}{y(y-1)}\frac{dmu}{dymu}=frac{1}{y(y-1)}\frac{dmu}{mu}=frac{dy}{y(y-1)}\ln|mu|=-ln|y|+ln|y-1|\ln|mu|=ln|frac{y-1}{y}|\mu=frac{y-1}{y} frac{(frac{delta Q}{delta x}-frac{delta P}{delta y})}{P}=frac{2y-2y+1}{y(y-1)}=frac{1}{y(y-1)}\frac{dmu}{dymu}=frac{1}{y(y-1)}\frac{dmu}{mu}=frac{dy}{y(y-1)}\ln|mu|=-ln|y|+ln|y-1|\ln|mu|=ln|frac{y-1}{y}|\mu=frac{y-1}{y}](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7B%28frac%7Bdelta+Q%7D%7Bdelta+x%7D-frac%7Bdelta+P%7D%7Bdelta+y%7D%29%7D%7BP%7D%3Dfrac%7B2y-2y%2B1%7D%7By%28y-1%29%7D%3Dfrac%7B1%7D%7By%28y-1%29%7D%5Cfrac%7Bdmu%7D%7Bdymu%7D%3Dfrac%7B1%7D%7By%28y-1%29%7D%5Cfrac%7Bdmu%7D%7Bmu%7D%3Dfrac%7Bdy%7D%7By%28y-1%29%7D%5Cln%7Cmu%7C%3D-ln%7Cy%7C%2Bln%7Cy-1%7C%5Cln%7Cmu%7C%3Dln%7Cfrac%7By-1%7D%7By%7D%7C%5Cmu%3Dfrac%7By-1%7D%7By%7D)
Умножаем на μ каждое из слагаемых и получаем:
![frac{y-1}{y}(y(y-1))dx+frac{y-1}{y}(2xy-1)dy=0\(y-1)^2dx+(2x(y-1)+frac{1-y}{y})dy=0\frac{delta P'}{delta y}=2
(y-1)\frac{delta Q'}{delta x}=2(y-1) frac{y-1}{y}(y(y-1))dx+frac{y-1}{y}(2xy-1)dy=0\(y-1)^2dx+(2x(y-1)+frac{1-y}{y})dy=0\frac{delta P'}{delta y}=2
(y-1)\frac{delta Q'}{delta x}=2(y-1)](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7By-1%7D%7By%7D%28y%28y-1%29%29dx%2Bfrac%7By-1%7D%7By%7D%282xy-1%29dy%3D0%5C%28y-1%29%5E2dx%2B%282x%28y-1%29%2Bfrac%7B1-y%7D%7By%7D%29dy%3D0%5Cfrac%7Bdelta+P%27%7D%7Bdelta+y%7D%3D2%0A%28y-1%29%5Cfrac%7Bdelta+Q%27%7D%7Bdelta+x%7D%3D2%28y-1%29)
Та-дам, вот и дифференциал полный, решаем его.
![begin{cases}frac{delta F}{delta x}=(y-1)^2\frac{delta F}{delta y}=(2x(y-1)+frac{1-y}{y})end{cases}\F=int(y-1)^2dx=x(y-1)^2+phi(y)\frac{delta F}{delta y}=x(2(y-1))+phi'(y)\x(2(y-1))+phi'(y)=2x(y-1)+frac{1-y}{y}\phi'(y)=frac{1-y}{y}\phi(y)=intfrac{1-y}{y}dy=ln|y|-y+C\F=x(y-1)^2+ln|y|-y+C=0\x(y-1)^2+ln|y|-y=C begin{cases}frac{delta F}{delta x}=(y-1)^2\frac{delta F}{delta y}=(2x(y-1)+frac{1-y}{y})end{cases}\F=int(y-1)^2dx=x(y-1)^2+phi(y)\frac{delta F}{delta y}=x(2(y-1))+phi'(y)\x(2(y-1))+phi'(y)=2x(y-1)+frac{1-y}{y}\phi'(y)=frac{1-y}{y}\phi(y)=intfrac{1-y}{y}dy=ln|y|-y+C\F=x(y-1)^2+ln|y|-y+C=0\x(y-1)^2+ln|y|-y=C](https://tex.z-dn.net/?f=begin%7Bcases%7Dfrac%7Bdelta+F%7D%7Bdelta+x%7D%3D%28y-1%29%5E2%5Cfrac%7Bdelta+F%7D%7Bdelta+y%7D%3D%282x%28y-1%29%2Bfrac%7B1-y%7D%7By%7D%29end%7Bcases%7D%5CF%3Dint%28y-1%29%5E2dx%3Dx%28y-1%29%5E2%2Bphi%28y%29%5Cfrac%7Bdelta+F%7D%7Bdelta+y%7D%3Dx%282%28y-1%29%29%2Bphi%27%28y%29%5Cx%282%28y-1%29%29%2Bphi%27%28y%29%3D2x%28y-1%29%2Bfrac%7B1-y%7D%7By%7D%5Cphi%27%28y%29%3Dfrac%7B1-y%7D%7By%7D%5Cphi%28y%29%3Dintfrac%7B1-y%7D%7By%7Ddy%3Dln%7Cy%7C-y%2BC%5CF%3Dx%28y-1%29%5E2%2Bln%7Cy%7C-y%2BC%3D0%5Cx%28y-1%29%5E2%2Bln%7Cy%7C-y%3DC)
Проверка:
![(x(y-1)^2+ln|y|-y)'=C'\(y-1)^2+(2x(y-1))y'+frac{y'}{y}-y'=0\(y-1)^2+(2x(y-1)+frac{1}{y}-1)y'=0\(y-1)^2+(2x(y-1)+frac{1-y}{y})y'=0 (x(y-1)^2+ln|y|-y)'=C'\(y-1)^2+(2x(y-1))y'+frac{y'}{y}-y'=0\(y-1)^2+(2x(y-1)+frac{1}{y}-1)y'=0\(y-1)^2+(2x(y-1)+frac{1-y}{y})y'=0](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%28y-1%29%5E2%2Bln%7Cy%7C-y%29%27%3DC%27%5C%28y-1%29%5E2%2B%282x%28y-1%29%29y%27%2Bfrac%7By%27%7D%7By%7D-y%27%3D0%5C%28y-1%29%5E2%2B%282x%28y-1%29%2Bfrac%7B1%7D%7By%7D-1%29y%27%3D0%5C%28y-1%29%5E2%2B%282x%28y-1%29%2Bfrac%7B1-y%7D%7By%7D%29y%27%3D0)
Получен изначальный дифференциал, значится ответ верный, подставляем начальные условия
![0(1-1)^2+ln|1|-1=C\C=-1\OTBET:x(y-1)^2+ln|y|-y=-1 0(1-1)^2+ln|1|-1=C\C=-1\OTBET:x(y-1)^2+ln|y|-y=-1](https://tex.z-dn.net/?f=0%281-1%29%5E2%2Bln%7C1%7C-1%3DC%5CC%3D-1%5COTBET%3Ax%28y-1%29%5E2%2Bln%7Cy%7C-y%3D-1)
Для решения данного дифференциального уравнения потребуется такая вещь, как интегрирующий множитель μ.
Как видим, на полный дифференциал не тянет, вот тут нам и поможет множитель, только его надо сначала найти.Суть множителя в том, что при умножении на него каждой из частей дифференциал будет полным, и соответственно решать его будем как полный.
Умножаем на μ каждое из слагаемых и получаем:
Та-дам, вот и дифференциал полный, решаем его.
Проверка:
Получен изначальный дифференциал, значится ответ верный, подставляем начальные условия
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад