Question

Найти частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

Первый раз сталкиваюсь с таким заданием, но оно не особо сложное:
Для решения данного дифференциального уравнения потребуется такая вещь, как интегрирующий множитель μ.

$(1-2xy)frac{dy}{dx}=y(y-1)|*dx\(1-2xy)dy=(y(y-1))dx\(y(y-1))dx+(2xy-1)dy=0\frac{delta P}{delta y}=2y-1\frac{delta Q}{delta x}=2y$

Как видим, на полный дифференциал не тянет, вот тут нам и поможет множитель, только его надо сначала найти.Суть множителя в том, что при умножении на него каждой из частей дифференциал будет полным, и соответственно решать его будем как полный.

$frac{(frac{delta Q}{delta x}-frac{delta P}{delta y})}{P}=frac{2y-2y+1}{y(y-1)}=frac{1}{y(y-1)}\frac{dmu}{dymu}=frac{1}{y(y-1)}\frac{dmu}{mu}=frac{dy}{y(y-1)}\ln|mu|=-ln|y|+ln|y-1|\ln|mu|=ln|frac{y-1}{y}|\mu=frac{y-1}{y}$

Умножаем на μ каждое из слагаемых и получаем:

$frac{y-1}{y}(y(y-1))dx+frac{y-1}{y}(2xy-1)dy=0\(y-1)^2dx+(2x(y-1)+frac{1-y}{y})dy=0\frac{delta P'}{delta y}=2 (y-1)\frac{delta Q'}{delta x}=2(y-1)$

Та-дам, вот и дифференциал полный, решаем его.

$begin{cases}frac{delta F}{delta x}=(y-1)^2\frac{delta F}{delta y}=(2x(y-1)+frac{1-y}{y})end{cases}\F=int(y-1)^2dx=x(y-1)^2+phi(y)\frac{delta F}{delta y}=x(2(y-1))+phi'(y)\x(2(y-1))+phi'(y)=2x(y-1)+frac{1-y}{y}\phi'(y)=frac{1-y}{y}\phi(y)=intfrac{1-y}{y}dy=ln|y|-y+C\F=x(y-1)^2+ln|y|-y+C=0\x(y-1)^2+ln|y|-y=C$

Проверка:

$(x(y-1)^2+ln|y|-y)'=C'\(y-1)^2+(2x(y-1))y'+frac{y'}{y}-y'=0\(y-1)^2+(2x(y-1)+frac{1}{y}-1)y'=0\(y-1)^2+(2x(y-1)+frac{1-y}{y})y'=0$

Получен изначальный дифференциал, значится ответ верный, подставляем начальные условия

$0(1-1)^2+ln|1|-1=C\C=-1\OTBET:x(y-1)^2+ln|y|-y=-1$