Question

1)lim 3x / (корень из (5-x) - корень из (5+x)) при x стремящемся к 0
2)lim (1/(x-2) - 4/(x^2-4)) при x стремящемся к 2
3)lim arcsin5x/(x^2-x) при x стремящемся к 0
4)lim ((1-x)/(2-x))^3x при x стремящемся к бесконечности

Answer 1

1) Неопределённость 0/0 раскрываем умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряжённое знаменателю, т.е. на $sqrt{5-x} + sqrt{5+x}$
$lim_{n to inft0} frac{3x}{sqrt{5-x} - sqrt{5+x}} =lim_{n to inft0} frac{3x*(sqrt{5-x} + sqrt{5+x})}{(sqrt{5-x} - sqrt{5+x})*(sqrt{5-x} + sqrt{5+x})} =$
В знаменателе разложение разности квадратом, используем это:
$=lim_{n to inft0} frac{3x*(sqrt{5-x} + sqrt{5+x})}{(5-x) - (5+x)} =lim_{n to inft0} frac{3x*(sqrt{5-x} + sqrt{5+x})}{-2x} =$
Сокращаем:
$=- frac{3}{2} lim_{n to inft0} (sqrt{5-x} + sqrt{5+x}) =- frac{3}{2} (sqrt{5-0} + sqrt{5+0})=$
$=- frac{3}{2} (sqrt{5-0} + sqrt{5+0})=- frac{3}{2}* 2sqrt{5}=-3sqrt{5}$

2) Неопределённость (∞-∞) раскрываем, приводя к общему знаменателю:
$lim_{n to inft2} ( frac{1}{x-2} - frac{4}{ x^{2} -4})= lim_{n to inft2} frac{x+2-4}{(x-2)(x+2)} =lim_{n to inft2} frac{x-2}{(x-2)(x+2)} =$
Сокращаем:
$=lim_{n to inft2} frac{1}{x+2} = frac{1}{2+2} = frac{1}{4}$

3) Неопределённость 0/0 раскрываем по первому замечательному пределу, вернее по одному из следствий из него, а именно: $lim_{n to inft0} frac{arcsinx}{x} =1$
$lim_{n to inft0} frac{arcsin5x}{ x^{2} -x}=lim_{n to inft0} frac{arcsin5x}{ x(x-1)}=lim_{n to inft0} frac{1}{x-1} * lim_{n to inft0} frac{arcsin5x}{ x}=$
Знаменатель разложили на множители, затем по свойству предел произведения равен произведению пределов, разбили на 2 предела:
$=-1 * lim_{n to inft0} frac{5*arcsin5x}{5 x}=$
Первый предел равен минус единице, второй приводим к первому замечательному пределу домножением на 5 числителя и знаменателя.
$=-1 *5* lim_{n to inft0} frac{arcsin5x}{5 x}=-1*5*1=-5$

4) Неопределённость 1 в степени ∞ раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но сначала путём преобразований приведём к виду, когда его можно будет применить.
В числителе добавили и вычли 1, затем сгруппировали и разделили.
$lim_{n to infty} ( frac{1-x}{2-x} ) ^{3x} = lim_{n to infty} (frac{(2-x)-1}{2-x} ) ^{3x} = lim_{n to infty} ( 1-frac{1}{2-x} ) ^{3x} =$
Потом поменяли знак второго слагаемого
$= lim_{n to infty} ( 1+frac{1}{x-2} ) ^{3x} =$
Сделаем замену t=1/(x-2), при этом t →0 и  $x= frac{1}{t} +2$
$= lim_{n to infty} ( 1+t) ^{3*( frac{1}{t} +2)}=lim_{n to infty} ( 1+t) ^{ frac{3}{t} +6}=$
Отделим целочисленную степень (6):
$=lim_{n to infty} ( 1+t) ^{6}*( 1+t) ^{ frac{3}{t}}=lim_{n to infty} ( 1+t) ^{6}*lim_{n to infty} ( 1+t) ^{ frac{3}{t}}=$
Разбили на произведение пределов, первый из которых равен 1, второй по второму замечательному пределу:
$=1*lim_{n to infty} (( 1+t) ^ frac{1}{t} )^3=(lim_{n to infty} ( 1+t) ^ frac{1}{t} )^3=$
Сначала можно вычислить предел, а затем возвести его в степень:
$=(e )^3=e ^{3}$