Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
y=x², x=3, y=0

Answer 1

y = x² - парабола (на рисунке синяя линия)
х = 3 - прямая перпендикулярная оси абсцисс, проходящая через точку (3,0) (зелёная линия на рисунке)
y = 0 - прямая, совпадающая с осью абсцисс (красная линия на рисунке)
Найдём ещё одну прямую, которая ограничивает параболу по иксу. Для этого в уравнение параболы подставляем y=0 и решаем уравнение относительно икса: x = 0 - ещё одна прямая перпендикулярная оси абсцисс (левая зелёная линия).
В итоге получается область серого цвета, площадь которой надо найти. Площадь находится с помощью определённого интеграла от параболы в пределах от х=0 до х=3 (это будут пределы интегрирования).

$intlimits^3_0 { x^{2} } , dx = frac{1}{3} x^{3} |_{0}^{3} = frac{1}{3} 3^{3}-frac{1}{3} 0^{3} = 9$