Question

X(2-y^2)dx+y(3-x^2)dy=0

Answer 1

Проверим на "полный дифференциал"
$P=x(2-y^2) Q=y(3-x^2)\frac{delta P}{delta y}=-2xy frac{delta Q}{delta x}=-2xy$
Диффур в полных дифференциалах.
$begin{cases}frac{delta F}{delta x}=x(2-y^2)\frac{delta F}{delta y}=y(3-x^2)end{cases}\frac{delta F}{delta x}=x(2-y^2)\F=int(x(2-y^2)dx=(2-y^2)*frac{x^2}{2}+phi(y)\frac{delta F}{delta y}=-frac{x^2}{2}*2y=-x^2y+phi'(y)\-x^2y+phi'(y)=y(3-x^2)\phi'(y)=3y\phi(y)=int 3ydy=frac{3y^2}{2}+C\F=(2-y^2)frac{x^2}{2}+frac{3y^2}{2}+C=0$

$((2-y^2)frac{x^2}{2}+frac{3y^2}{2}+C)'=0'\frac{1}{2}(-2yy'x^2+2x(2-y^2))+3yy'=0\-yy'x^2+x(2-y^2)+3yy'=0\x(2-y^2)+y(3-x^2)y'=0\x(2-y^2)dx+y(3-x^2)dy=0$

Разделяющиеся переменные:
$x(2-y^2)dx+y(3-x^2)dy=0|*frac{1}{(2-y^2)(3-x^2)}\frac{xdx}{3-x^2}+frac{ydy}{2-y^2}=0\frac{xdx}{3-x^2}=frac{ydy}{y^2-2}\intfrac{xdx}{3-x^2}=intfrac{ydy}{y^2-2}\-frac{1}{2}intfrac{d(3-x^2)}{3-x^2}=frac{1}{2}intfrac{d(y^2-2)}{y^2-2}\-frac{1}{2}ln|3-x^2|=frac{1}{2}ln|y^2-2|+C|*2\-ln|3-x^2|=ln|y^2-2|+C\-ln|3-x^2|=ln|y^2-2|+ln|C|\ln|(3-x^2)^{-1}|=ln|C(y^2-2)|\frac{1}{3-x^2}=C(y^2-2)|*frac{1}{(y^2-2}\frac{1}{(3-x^2)(y^2-2)}=C\(3-x^2)(y^2-2)=C$
$((3-x^2)(y^2-2))'=C'\-2x(y^2-2)+2yy'(3-x^2)=0|:2\x(2-y^2)+y(3-x^2)y'=0|*dx\x(2-y^2)dx+y(3-x^2)dy=0$

Answer 2

С другой стороны это уравнение с разделяющимися переменными.