Question

какие из данных слов однокареные бежит бег бегун бежевый беженцы беглец пробежка

Answer 1

бежит, бег, бегун.
 Одинаковый корень  БЕГ в случае со словом бежит корень БЕЖ  так как Г и Ж могут чередоваться.   
Слово БЕЖЕВЫЙ имеет другое значение 

Answer 2

Бежит, бег, бегун, пробежка, беженцы, беглец - однокоренные слова.
Слово бежевый к ним НЕ относится.