Question

Показательное неравенство!Кто спец? Помогите, пожалуйста, решить!!!! №9

Answer 1

Имеем: $3*4^{x}+6^{x}-2*9^{x} leq 0$

Преобразуем: $3*2^{2x}+2^{x}*3^{x}-2*3^{2x} leq 0$

Разделим неравенство на $2^{x}*3^{x} textgreater 0$. Т.к. оно больше нуля, то знак неравенства не изменится:
$3* frac{2^{x}}{3^{x}} +1-2* frac{3^{x}}{2^{x}} leq 0$

Пусть $t=frac{2^{x}}{3^{x}}$, тогда $3* t +1-2* frac{1}{t} leq 0$
Умножим неравеество на t > 0, получим: $3t ^{2} +t-2 leq 0$

Решением данного неравенства является интервал: t ∈ [-1; 2/3]
Однако с учётом того, что t не меньше нуля: t ∈ [0; 2/3]

Делаем обратную замену:
$0 leq frac{2^{x}}{3^{x}} leq frac{2}{3} \ \ 0 leq (frac{2}{3})^{x} leq (frac{2}{3})^{1}$

Данное неравенство может выполняться только при x ≥ 1