Question

dy/dx+y/x=1/(1-x^2). Подскажите, пожалуйста, как решить?

Answer 1

(y(x))/x+( dy(x))/( dx) = 1/(1-x^2):
Перепишем в таком виде:
( dy(x))/( dx)+(y(x))/x = -1/(x^2-1)
Положим mu(x) = e^( integral 1/x dx) = x.
Умножим обе части на mu(x):
x ( dy(x))/( dx)+y(x) = -x/(x^2-1)
заменим 1 = ( d)/( dx)(x):
x ( dy(x))/( dx)+( d)/( dx)(x) y(x) = -x/(x^2-1)
Применим g ( df)/( dx)+f ( dg)/( dx) = ( d)/( dx)(f g) к левой части:
( d)/( dx)(x y(x)) = -x/(x^2-1)
Проинтегрируем обе части по x:
 integral ( d)/( dx)(x y(x)) dx = integral -x/(x^2-1) dx
Получаем:
x y(x) = -1/2 log(x^2-1)+c_1, где c_1 произвольная константа.
Разделим обе части на mu(x) = x:
Ответ: | | y(x) = (-1/2 log(x^2-1)+c_1)/x

Answer 2

$cfrac{dy}{dx}+cfrac{y}{x}=cfrac{1}{1-x^2}$
Заметим, что это Линейное Дифференциальное Уравнение первого порядка(ЛДУ1),
запишем в общем виде:
$cfrac{dy}{dx}+a(x)y=b(x)\a(x)=cfrac{1}{x}\b(x)=cfrac{1}{1-x^2}$
То есть y и y' присутствуют линейно.
Решаем ЛДУ1 методом вариации произвольной постоянной:
Считаем, что b(x)=0, тогда получаем:
$y'+a(x)y=0\cfrac{dy}{dx}+a(x)y=0\cfrac{dy}{y}=-a(x)dx\ln y=-int a(x)dx+ln c\y=ce^{-int a(x)dx}=ce^{-intfrac{1}{x}dx}=ce^{ln x}$
Получили решение однородного уравнения
Пусть c=c(x), тогда общее неоднородное решение будет равно:
$y=c(x)e^{-int a(x)dx}$
Подставляем в исходное уравнение и решаем:
$y=ce^{-int a(x)dx}=ce^{-intfrac{1}{x}dx}=ce^{ln x}\y=c(x)e^{-int a(x)dx}\c'(x)e^{-int a(x)dx}+c(x)e^{-int a(x)dx}cdot (-a(x))+a(x)c(x)e^{-int a(x)dx}=b(x)\c'(x)=b(x)e^{int a(x)dx}\c(x)=int b(x)e^{int a(x)dx}+C_1\y=c(x)e^{-int a(x)dx}=left[int b(x)e^{int a(x)dx}dx+C_1right]e^{-int a(x)dx$
Осталось посчитать:
$y=c(x)e^{-int a(x)dx}=left[int b(x)e^{int a(x)dx}dx+C_1right]e^{-int a(x)dx\y}=\=left[intcfrac{1}{1-x^2}e^{ln x}+C_1right]e^{ln x}=left[intcfrac{x}{1-x^2}+C_1right]x=\=left[-cfrac{1}{2}ln (1-x^2)+C_1right]x$
Получили решение, ЛДУ1