Question

Помогите ПОНЯТЬ пределы:
1) Как получается, что при $lim_{n to infty} frac{1}{x} =0$ ? Здесь получается 0 или бесконечно малое число ?
2) $lim_{n to infty} (frac{2}{3})^{n} = 0$ Почему опять же здесь 0 ?

Answer 1

$limlimits _{x to infty} frac{1}{x} =0$

В пределе получили 0 . Это говорит о том, что функция под знаком предела  $f(x)=frac{1}{x}$  является бесконечно малой.
Это значит, что  числовое значение функции отличается от числа 0 на очень маленькую величину при х стремящемся к ∞. 
Это можно продемонстрировать, придавая "х" конкретные числовые значения, которые увеличиваются:
 $frac{1}{10}; >; frac{1}{100}; >; frac{1}{1000}; >; frac{1}{10000}; >; frac{1}{100000}; >.......$  

Чем больше знаменатель , тем меньше дробь, тем ближе значение этой дроби стремиться к числу 0 , то есть значение функции почти не отличается от числа 0 .
Предельное значение функции, как видно из примера, при увеличении переменной х стремится к 0 , причём не обязательно достигает самого значения 0.
 Поэтому и говорят не о значении функции, а о пределе функции.
А функции, предел которых равен 0, называют бесконечно малыми.

2)  $limlimits _{n to +infty} Big ( frac{2}{3} Big )^{n}=0; ; ,; ; limlimits _{n to -infty}Big (frac{2}{3}Big )^{n} =+infty$  

Так как функция  $y=Big (frac{2}{3}Big )^{x}$   убывающая, то при увеличении значений переменной "х"  значения функции уменьшаются, стремятся к 0
(если х--->+∞ , то  y---> 0 ).
А при уменьшении значений переменной "х" значения функции неограниченно растут  (если х---> -∞  , то  y --->  +∞) .
При  х---> -∞  показательная функция  $y=(frac{2}{3})^{x}$  является бесконечно малой.
При  х---> +∞ показательная функция  $y=(frac{2}{3})^{x}$  является бесконечно большой.
Эти свойства показ. функции хорошо видны на её графике.