Question

Помогите плиз...
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
1)xy*dx+(1+y^2)*sqrt(1+x^2)*dy=0;
2)(1+x^2)*y'+y*sqrt(1+x^2)=xy;

Answer 1

$xy*dx+(1+y^2)*sqrt{1+x^2}*dy=0|*frac{1}{ysqrt{1+x^2}}\frac{xdx}{sqrt{1+x^2}}=-frac{(1+y^2)dy}{y}\int frac{d(1+x^2)}{sqrt{1+x^2}}=int(-frac{1}{y}-y)dy\sqrt{1+x^2}=-ln|y|-frac{y^2}{2}+C\sqrt{1+x^2}+ln|y|+frac{y^2}{2}=C\\\sqrt{1+x^2}+ln|y|+frac{y^2}{2})'=C'\frac{x}{sqrt{1+x^2}}+frac{y'}{y}+yy'=0|*ysqrt{1+x^2}dx\xydx+(1+y^2)sqrt{1+x^2}dy$
В начале при делении потеряли ответ y=0, поэтому полный ответ:
$(sqrt{1+x^2}+ln|y|+frac{y^2}{2}=C ;y=0$


$(1+x^2)*y'+y*sqrt{1+x^2}=xy|*frac{dx}{y(1+x^2)}\frac{dy}{y}+frac{dx}{sqrt{1+x^2}}=frac{xdx}{1+x^2}\frac{dy}{y}=frac{1}{2}frac{d(1+x^2)}{1+x^2}-frac{dx}{sqrt{1+x^2}}\intfrac{dy}{y}=frac{1}{2}intfrac{d(1+x^2)}{1+x^2}-intfrac{dx}{sqrt{1+x^2}}\ln|y|=frac{1}{2}ln|1+x^2|-ln|x+sqrt{1+x^2}|+C\ln|y|=ln|sqrt{1+x^2}|-ln|x+sqrt{1+x^2}|+ln|C|\ln|y|=ln|frac{Csqrt{1+x^2}}{x+sqrt{1+x^2}}|\y=frac{Csqrt{1+x^2}}{x+sqrt{1+x^2}}\y*frac{x+sqrt{1+x^2}}{sqrt{1+x^2}}=C$
Проверка:
$(y*frac{x+sqrt{1+x^2}}{sqrt{1+x^2}})'=C'\y'*frac{x+sqrt{1+x^2}}{sqrt{1+x^2}}+y*{frac{(1+frac{x}{sqrt{1+x^2}})*sqrt{1+x^2}-frac{x}{sqrt{1+x^2}}*(x+sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}=0\y'*frac{x+sqrt{1+x^2}}{sqrt{1+x^2}}+y*{frac{(frac{x+sqrt{1+x^2}}{sqrt{1+x^2}})*sqrt{1+x^2}-frac{x}{sqrt{1+x^2}}*(x+sqrt{1+x^2})}{1+x^2}}=0|*frac{sqrt{1+x^2}}{x+sqrt{1+x^2}}\y'+yfrac{sqrt{1+x^2}-x}{1+x^2}=0|*(1+x^2)\(1+x^2)y'+ysqrt{1+x^2}-xy=0\(1+x^2)y'+ysqrt{1+x^2}=xy$
В этом примере мы тоже теряем решение y=0, но дописывать его не надо т.к. у=0 при С=0