Question

Докажите, что при любом n∈Z является целым числом значение выражения:

Answer 1

Достаточно доказать что $(n^3+5n)$ делиться на 6 при любом целом n. 

Для n=0 утверждение очевидно.

Докажем по индукции: 

Если n > 0, то $nin mathbb N$.
Для n=1 утверждение верно. Предположим что утверждение верно для некоторого n > 1. Докажем утверждение для (n+1). 

$displaystyle frac{(n+1)^3+5(n+1)}{6}= frac{n^3+3n^2+3n+1+5n+5}{6}=\\ =frac{(n^3+5n)+3n^2+3n+6}{6} = frac{(n^3+5n)+3(n^2+n+2)}{6}$

Достаточно доказать что $n^2+n+2$ делиться на 2. 

======================================================================
Лемма:
Для всех натуральных n, число $(n^2+n+2)$ делиться на 2.

Доказательство:
Для n=1 утверждение очевидно. Предположим что утверждение верно для некоторого n>1.

Докажем для (n+1):
$displaystyle frac{(n+1)^2+(n+1)+2}{2} = frac{n^2+2n+1+n+1+2}{2}=\\= frac{(n^2+n+2)+2n+2}{2}= frac{(n^2+n+2)+2(n+1)}{2}$

Следуя предположению, первое слагаемое делиться на 2. Следовательно и всё выражение делиться на 2. Отсюда следует что для всех натуральных n, число $(n^2+n+2)$ делиться на 2.
======================================================================

Первое слагаемое делиться на 6 следуя предположению, второе слагаемое делиться на 3 и на 2 (следуя лемме), т.е. делиться на 6. Откуда и получаем что всё выражение делиться на 6. Следовательно, для всех n > 0 натуральных, данное выражение делиться на 6.

Если n < 0 то $-nin mathbb N$, однако мы уже доказали для всех натуральных, что данное выражение делиться на 6.  
Откуда следует, что всегда существует такое натуральное число t, так что:
$displaystyle -n^3-5n=6t Rightarrow n^3+5n=-6t Rightarrow frac{n^3+5n}{6}=-tin mathbb Z$.

Т.е. утверждение верно и для отрицательных чисел. 

Ч.Т.Д.