Ответы
Ответ дал:
0
Достаточно доказать что
делиться на 6 при любом целом n.
Для n=0 утверждение очевидно.
Докажем по индукции:
Если n > 0, то
.
Для n=1 утверждение верно. Предположим что утверждение верно для некоторого n > 1. Докажем утверждение для (n+1).
![displaystyle frac{(n+1)^3+5(n+1)}{6}= frac{n^3+3n^2+3n+1+5n+5}{6}=\\ =frac{(n^3+5n)+3n^2+3n+6}{6} = frac{(n^3+5n)+3(n^2+n+2)}{6} displaystyle frac{(n+1)^3+5(n+1)}{6}= frac{n^3+3n^2+3n+1+5n+5}{6}=\\ =frac{(n^3+5n)+3n^2+3n+6}{6} = frac{(n^3+5n)+3(n^2+n+2)}{6}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++frac%7B%28n%2B1%29%5E3%2B5%28n%2B1%29%7D%7B6%7D%3D+frac%7Bn%5E3%2B3n%5E2%2B3n%2B1%2B5n%2B5%7D%7B6%7D%3D%5C%5C+%3Dfrac%7B%28n%5E3%2B5n%29%2B3n%5E2%2B3n%2B6%7D%7B6%7D+++%3D+frac%7B%28n%5E3%2B5n%29%2B3%28n%5E2%2Bn%2B2%29%7D%7B6%7D+)
Достаточно доказать что
делиться на 2.
======================================================================
Лемма:
Для всех натуральных n, число
делиться на 2.
Доказательство:
Для n=1 утверждение очевидно. Предположим что утверждение верно для некоторого n>1.
Докажем для (n+1):
![displaystyle frac{(n+1)^2+(n+1)+2}{2} = frac{n^2+2n+1+n+1+2}{2}=\\= frac{(n^2+n+2)+2n+2}{2}= frac{(n^2+n+2)+2(n+1)}{2} displaystyle frac{(n+1)^2+(n+1)+2}{2} = frac{n^2+2n+1+n+1+2}{2}=\\= frac{(n^2+n+2)+2n+2}{2}= frac{(n^2+n+2)+2(n+1)}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++frac%7B%28n%2B1%29%5E2%2B%28n%2B1%29%2B2%7D%7B2%7D+%3D+frac%7Bn%5E2%2B2n%2B1%2Bn%2B1%2B2%7D%7B2%7D%3D%5C%5C%3D+frac%7B%28n%5E2%2Bn%2B2%29%2B2n%2B2%7D%7B2%7D%3D+frac%7B%28n%5E2%2Bn%2B2%29%2B2%28n%2B1%29%7D%7B2%7D+++)
Следуя предположению, первое слагаемое делиться на 2. Следовательно и всё выражение делиться на 2. Отсюда следует что для всех натуральных n, число
делиться на 2.
======================================================================
Первое слагаемое делиться на 6 следуя предположению, второе слагаемое делиться на 3 и на 2 (следуя лемме), т.е. делиться на 6. Откуда и получаем что всё выражение делиться на 6. Следовательно, для всех n > 0 натуральных, данное выражение делиться на 6.
Если n < 0 то
, однако мы уже доказали для всех натуральных, что данное выражение делиться на 6.
Откуда следует, что всегда существует такое натуральное число t, так что:
.
Т.е. утверждение верно и для отрицательных чисел.
Ч.Т.Д.
Для n=0 утверждение очевидно.
Докажем по индукции:
Если n > 0, то
Для n=1 утверждение верно. Предположим что утверждение верно для некоторого n > 1. Докажем утверждение для (n+1).
Достаточно доказать что
======================================================================
Лемма:
Для всех натуральных n, число
Доказательство:
Для n=1 утверждение очевидно. Предположим что утверждение верно для некоторого n>1.
Докажем для (n+1):
Следуя предположению, первое слагаемое делиться на 2. Следовательно и всё выражение делиться на 2. Отсюда следует что для всех натуральных n, число
======================================================================
Первое слагаемое делиться на 6 следуя предположению, второе слагаемое делиться на 3 и на 2 (следуя лемме), т.е. делиться на 6. Откуда и получаем что всё выражение делиться на 6. Следовательно, для всех n > 0 натуральных, данное выражение делиться на 6.
Если n < 0 то
Откуда следует, что всегда существует такое натуральное число t, так что:
Т.е. утверждение верно и для отрицательных чисел.
Ч.Т.Д.
Вас заинтересует
1 год назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад