Решить пример подробно:
![lim_{n to infty} ( frac{n}{5n+11}) ( frac{cosn}{10n} ) lim_{n to infty} ( frac{n}{5n+11}) ( frac{cosn}{10n} )](https://tex.z-dn.net/?f=+lim_%7Bn+to+infty%7D+%28+frac%7Bn%7D%7B5n%2B11%7D%29+%28+frac%7Bcosn%7D%7B10n%7D+%29)
Как решать подобные пределы с синусами и косинусами?
Что делать, если при решении предела в числителе получается число, а в знаменателе 0?
Ответы
Ответ дал:
0
Тут достаточно использовать правило:
Пусть
сходящиеся последовательности. То,
![displaystyle lim_{n to infty} a_nb_n = lim_{n to infty} a_n cdot lim_{n to infty} b_n displaystyle lim_{n to infty} a_nb_n = lim_{n to infty} a_n cdot lim_{n to infty} b_n](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++lim_%7Bn+to+infty%7D+a_nb_n+%3D+lim_%7Bn+to+infty%7D+a_n+cdot++lim_%7Bn+to+infty%7D+b_n+)
Т.е. достаточно показать что данные две последовательности сходятся, а дальше перемножить их пределы.
![displaystyle 1)lim_{n to infty} frac{n}{5n+11}= lim_{n to infty} frac{n/n}{5n/n + 11/n} = lim_{n to infty} frac{1}{5+11/n} =\\ = frac{1}{5+ lim_{n to infty} 11/n} = frac{1}{5+0} = frac{1}{5} \\ displaystyle 1)lim_{n to infty} frac{n}{5n+11}= lim_{n to infty} frac{n/n}{5n/n + 11/n} = lim_{n to infty} frac{1}{5+11/n} =\\ = frac{1}{5+ lim_{n to infty} 11/n} = frac{1}{5+0} = frac{1}{5} \\](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++1%29lim_%7Bn+to+infty%7D++frac%7Bn%7D%7B5n%2B11%7D%3D++lim_%7Bn+to+infty%7D+frac%7Bn%2Fn%7D%7B5n%2Fn+%2B+11%2Fn%7D++%3D++lim_%7Bn+to+infty%7D++frac%7B1%7D%7B5%2B11%2Fn%7D+%3D%5C%5C+%3D+frac%7B1%7D%7B5%2B+lim_%7Bn+to+infty%7D+11%2Fn%7D+%3D++frac%7B1%7D%7B5%2B0%7D+%3D+frac%7B1%7D%7B5%7D+%5C%5C+)
Как же найти второй предел? Достаточно в нашем случае вспомнить фундаментальное неравенство:
.
Теперь умножаем на нужное число:
![displaystyle - frac{1}{10n} leq frac{cos n}{10n} leq frac{1}{10n} displaystyle - frac{1}{10n} leq frac{cos n}{10n} leq frac{1}{10n}](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+-+frac%7B1%7D%7B10n%7D+leq++frac%7Bcos+n%7D%7B10n%7D+leq++frac%7B1%7D%7B10n%7D+++)
Так как,
![displaystyle lim_{n to infty} - frac{1}{10n}= lim_{n to infty} frac{1}{10n}=0 displaystyle lim_{n to infty} - frac{1}{10n}= lim_{n to infty} frac{1}{10n}=0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++lim_%7Bn+to+infty%7D+-+frac%7B1%7D%7B10n%7D%3D+lim_%7Bn+to+infty%7D++frac%7B1%7D%7B10n%7D%3D0)
То следуя теореме о двух милиционерах:
![displaystyle lim_{n to infty} frac{cos n}{10n}=0 displaystyle lim_{n to infty} frac{cos n}{10n}=0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++lim_%7Bn+to+infty%7D+frac%7Bcos+n%7D%7B10n%7D%3D0)
Откуда получаем:
![displaystyle lim_{n to infty}left( frac{n}{5n+11}right) left( frac{cos n}{10n} right) = frac{1}{5} cdot 0=0 displaystyle lim_{n to infty}left( frac{n}{5n+11}right) left( frac{cos n}{10n} right) = frac{1}{5} cdot 0=0](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++lim_%7Bn+to+infty%7Dleft%28+frac%7Bn%7D%7B5n%2B11%7Dright%29+left%28+frac%7Bcos+n%7D%7B10n%7D+right%29+%3D++frac%7B1%7D%7B5%7D+cdot+0%3D0)
Пусть
Т.е. достаточно показать что данные две последовательности сходятся, а дальше перемножить их пределы.
Как же найти второй предел? Достаточно в нашем случае вспомнить фундаментальное неравенство:
Теперь умножаем на нужное число:
Так как,
То следуя теореме о двух милиционерах:
Откуда получаем:
Вас заинтересует
1 год назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад