Question

Имеются ли закономерности расположения точек пересечения серединных перпендикуляров противолежащих сторон четырехугольника относительно середин его диагоналей, если его параллелограмм Вариньона имеет равные стороны (то есть диагонали четырехугольника равны)?

Answer 1

Имеются. Например, если в четырехугольнике ABCD диагонали равны, серединные перпендикуляры к отрезкам BC и AD пересекаются в точке Q, а М и N - середины диагоналей AC и BD соответственно, то QN=QM и ∠NQM равен углу между диагоналями четырехугольника. 

Действительно, треугольники AQC и DQB очевидно равны по трем сторонам, а значит совмещаются поворотом вокруг точки Q (синий и красный треугольники). Значит их медианы QN и QM тоже совместятся при этом повороте,  т.е. QN=QM и ∠MQN равен углу между прямыми AC и DB (т.к. диагональ AC переходит в DB).

Answer 2

Гениально

Answer 3

Мне кажется, отсюда должно получиться и решение задачи https://znanija.com/task/25852213. Раз угол MQN= углу BTC (T - пересечение диагоналей), то угол MPN (P - точка пересечения второй пары серединных перпендикуляров) будет равен углу ATB

Answer 4

Да, именно так.