Question

Тело брошенное вертикально вверх, возвратилось в точку бросания. Определить отношение времени спуска ко времени подъема, если масса тела равна 0,5кг, а сила сопротивления 3 H

Answer 1

рисунок в приложении.

По 2 закону Ньютона:
при движении вверх:
$m \vec{g}+\vec{F_{c}}=m\vec{a_1}$
при движении вниз:
$m \vec{g}+\vec{F_{c}}=m\vec{a_2}$
проецируем на ось y:
при движении вверх:
$mg+F_c=ma_1 \\a_1= \frac{mg+F_c}{m}$
при движении вниз:
$mg-F_c=ma_2 \\a_2= \frac{mg-F_c}{m}$
формула пути при движении вверх:
$S_n=v_0*t_n- \frac{a_1*t_{n}^2}{2}$
формула пути при движении вниз:
$v_0=0 \\S_c= \frac{a_2*t_{c}^2}{2}$
мы знаем, что $S_c=S_n$
поэтому:
$v_0*t_n- \frac{a_1*t_{n}^2}{2}=\frac{a_2*t_{c}^2}{2}$
делим все на $t_{n}^2$
$\frac{v_0}{t_n} - \frac{a_1}{2} = \frac{a_2}{2} *( \frac{t_c}{t_n} )^2$
для того, чтобы найти скорость используем формулу:
$v^2-v_{0}^2=-2aS \\v=0 \\a=a_1 \\-v_{0}^2=-2a_1S \\v_{0}^2=2a_1S \\S_c=\frac{a_2*t_{c}^2}{2} \\v_{0}^2=2a_1*\frac{a_2*t_{c}^2}{2}=a_1*a_2*t_{c}^2 \\v_{0}=t_c*\sqrt{a_1*a_2}$
подставим в исходное уравнение:
$\frac{t_c*\sqrt{a_1*a_2}}{t_n} - \frac{a_1}{2} = \frac{a_2}{2} *( \frac{t_c}{t_n} )^2 \\ \frac{t_c}{t_n} *\sqrt{a_1*a_2}- \frac{a_1}{2} = \frac{a_2}{2} *( \frac{t_c}{t_n} )^2 \\ \frac{t_c}{t_n} =y \\y*\sqrt{a_1*a_2}-\frac{a_1}{2} = \frac{a_2}{2} *y^2 \\2y*\sqrt{a_1*a_2}-a_1=a_2*y^2 \\a_2*y^2-2y*\sqrt{a_1*a_2}+a_1=0 \\(\sqrt{a_{2}}*y)^2-2*y*\sqrt{a_{2}}*\sqrt{a_{1}}+(\sqrt{a_{1}})^2=0 \\(\sqrt{a_{2}}*y-\sqrt{a_{1}})^2=0 \\\sqrt{a_{2}}*y-\sqrt{a_{1}}=0 \\\sqrt{a_{2}}*y=\sqrt{a_{1}}$
$y=\sqrt{ \frac{a_{1}}{a_{2}} }$
обратная замена:
$\frac{t_c}{t_n}=\sqrt{ \frac{a_{1}}{a_{2}} }$
$\frac{t_c}{t_n}=\sqrt{ \frac{a_{1}}{a_{2}} }=\sqrt{ \frac{\frac{mg+F_c}{m}}{\frac{mg-F_c}{m}} }=\sqrt{ \frac{mg+F_c}{mg-F_c} }$
теперь подставляем значения:
$m=0,5 \\F_c=3 \\g=10 \\\frac{t_c}{t_n}=\sqrt{ \frac{0,5*10+3}{0,5*10-3} }= \sqrt{\frac{5+3}{2} }=\sqrt{4}=2$
Ответ: 2