Question

Не могу вычислит сама, поэтому желательно с подробным решением.

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=2,5x^2+1, касательной к этому графику в точке с абсциссой x=-2 и прямой x=0

Answer 1

С начала нужно составить уравнение касательной по формуле
$y=f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0)$

$y'=(2,5x^2+1)' = 5x$

$y'(-2)= 5(-2) = -10$

$y (-2) = 2,5(-2)^2+1 = 11$

Тогда

$y=11 -10(x+2) = -10x-9$

Теперь есть три графика

$y=2,5x^2+1 \\ y= -10x-9 \\ x=0$

Построим графики (см. рисунок ниже)

Из графика пределы интегрирования по х от -2 до 0. (можно вычислить аналитически)

Площадь фигуры будет равна разности определенных интегралов 

$S = \int\limits^0_{-2} ({2,5x^2+1}) \, dx - \int\limits^0_{-2} ({-10x-9}) \, dx =$

$= \frac{2,5}{3} x^3|_{-2}^0+x|_{-2}^0 + 5x^2|_{-2}^0+9x|_{-2}^0 =$

$= \frac{20}{3} + 2 -20 + 18 = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$ кв.ед