Question

При любой раздаче 200 орехов присутствующим бельчатам найдутся хотя бы двое бельчат, которым досталось одинаковое количество орехов (возможно, ни одного). Найдите наименьшее количество присутствующих бельчат.

Answer 1

На первый взгляд, наименьшее количество бельчат - двое. Им достанется по 100 орехов каждому. Однако в условии есть оговорка, что раздача орехов м.б. любой. И одному может достаться 199 орехов, а другому - 1 орех. Наша задача состоит в нахождении такого числа бельчат, что как бы мы не раздавали орехи, всё равно находилось бы двое бельчат с одинаковым числом орехов.
Поэтому для решения нашей задачи, попробуем решить другую, противоположную. А именно, найдём такое количество бельчат, когда всем им достанется разное количество орехов.
Начнём раздавать разное количество орезов:
первому - 0 орехов
второму - 1 орех
третьему - 2 ореха и т.д.
Это арифметическая прогрессия с первым членом равным нулю и шагом прогресси 1. Сумму считаем по формуле
$S_n = \frac{2a_1+d(n-1)}{2}n = \frac{n(n-1)}{2}$
Легко считается, что при n = 20, будет роздано 190 орехов, а при n = 21 - 210 орехов.
Из этого следует, что при 20 бельчатах остётся ещё 10 орехов, которые придётся кому-нибудь из них дать дополнительно. Однако, если мы все 10 оставшихся орехов отдадим бельчонку, у которого уже 19 орехов, то в результате ни у каких двоих бельчат не окажется по одинаковому числу орехов. Если 21 бельчат, то ещё 10 бельчатам не хватит орехов. И у 11 бельчат будет по 0 орехов.
Следовательно, наименьшее количество бельчат, удовлетворяющее условию задачи, равно 21.

Ответ: 21