Question

Если диагонали прямоугольника являются биссектрисами углов, можно ли без доказательства утверждать, что данный прямоугольник - квадрат?

Answer 1

Вве­дем опре­де­ле­ние пря­мо­уголь­ни­ка.

Опре­де­ле­ние. Пря­мо­уголь­ни­ком на­зы­ва­ют па­рал­ле­ло­грамм, у ко­то­ро­го все углы пря­мые (см. Рис. 1).

Рис. 1. Пря­мо­уголь­ник

За­ме­ча­ние. Оче­вид­ным эк­ви­ва­лент­ным опре­де­ле­ни­ем пря­мо­уголь­ни­ка (ино­гда его име­ну­ют при­зна­ком пря­мо­уголь­ни­ка) можно на­звать сле­ду­ю­щее. Пря­мо­уголь­ник – это па­рал­ле­ло­грамм с одним углом . Это утвер­жде­ние прак­ти­че­ски оче­вид­но, и мы оста­вим его без до­ка­за­тель­ства, поль­зу­ясь далее как опре­де­ле­ни­ем.

Т.к. пря­мо­уголь­ник, как это видно из опре­де­ле­ния, яв­ля­ет­ся част­ным слу­ча­ем па­рал­ле­ло­грам­ма, то ему при­су­щи все ранее опи­сан­ные свой­ства па­рал­ле­ло­грам­ма, од­на­ко у него име­ют­ся и свои спе­ци­фи­че­ские свой­ства, ко­то­рые мы сей­час рас­смот­рим.

Тео­ре­ма 1. Свой­ство пря­мо­уголь­ни­ка. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка равны.

До­ка­за­тель­ство. Изоб­ра­зим на Рис. 2 пря­мо­уголь­ник (как и у па­рал­ле­ло­грам­ма, про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны). Все углы пря­мые. Необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что диа­го­на­ли .

Answer 2

Как-то не по теме...