Question

Помогите пожалуйста решить интегралы!!!

Answer 1

$1); ; intlimits^{pi /4}_{pi /6} {sin2x} , dx =- frac{1}{2}cdot cos2xBig |_{pi /6}^{pi /4} =- frac{1}{2}cdot (cos frac{pi }{2}-cosfrac{pi }{3})=\\=- frac{1}{2}cdot (0-frac{1}{2})= frac{1}{4}$

$2); ; int frac{3cosx, dx}{sqrt[3]{1+2sinx}}=[, t=1+2sinx,; dt=2cosx, dx, ]=\\= frac{3}{2} int frac{dt}{sqrt[3]{t}} = frac{3}{2}cdot frac{t^{frac{2}{3}}}{2/3}+C= frac{9}{4}cdot sqrt[3]{(1+2sinx)^2}+C$

$3); ; int e^{x}cdot sinx, dx=[, u=e^{x}; ,; du=e^{x}, dx; ,; dv=sinx, dx; ,\\v=-cosx; ]=uv-int v, du=-e^{x}cdot cosx+int e^{x}cdot cosx, dx=\\=-e^{x}cdot cosx+[; u=e^{x},; du=e^{x}, dx; ,; dv=cosx, dx,; v=sinx, ]=\\=-e^{x}cdot cosx+e^{x}cdot sinx-int e^{x}cdot sinx, dx; Rightarrow \\I=int e^{x}cdot sinx, dx; ; Rightarrow ; ; I=-e^{x}cdot cosx+e^{x}cdot sinx-I; ; Rightarrow \\2I=-e^{x}cdot cosx+e^{x}cdot sinx=e^{x}cdot (sinx-cosx)\\I=frac{1}{2}cdot e^{x}cdot (sinx-cosx)+C$

$int e^{x}cdot sinx, dx=frac{1}{2}cdot e^{x}cdot (sinx-cosx)+C\\4); ; int (-x^{3/2}+x^{-2}-x+1)dx=- frac{2x^{frac{5}{2}}}{5}+ frac{x^{-1}}{-1}-frac{x^2}{2} +x+C=\\=- frac{2}{5}cdot sqrt{x^5}-frac{1}{x}-frac{x^2}{2}+x+C$