Question

Какое натуральное число которое при умнажение на 2 становится квадрато а при умнажение на3 становится кобом

Answer 1

Чтобы число при умножении на 3 давало куб, в него должна входить тройка в степени 2, 5, 8, 11, 14 и т.д. Например, 3*3; 3*3*3*3*3; ...
При умножении такого числа на 3 будет получаться куб. Для выше приведённых примеров: (3*3) * 3 = 27; (3*3*3*3*3) * 3 = 729.
В тоже время, из набора троек должен получаться квадрат. значит, число троек д.б. чётным: 2, 8, 14, 20 и т.д. Например, 3*3 = 9; 3*3*3*3*3*3*3*3 = 6561. В общем виде это можно записать так. Пусть n ∈ N, то количество троек д.б. таким: (6n - 4) = 2(3n - 2).

Чтобы число при умножении на 2 давало квадрат, а без умножения число было кубом, в него должна входить двойка в степени 3, 9, 15 и т.д. Например, степень 6 не подойдёт, хотя 2 в шестой степени это куб, но при умножении на 2 квадрат не получится. В общем виде допустимые количества двоек можно записать так. Пусть m ∈ N, то количество двоек равно: (6m - 3) = 3(2m - 1).

Теперь можно записать всё число:
$2^{3(2m-1)}*3^{2(3n-2)}$

Наименьшее число получим при n=m=1:
$2^{3(2*1-1)}*3^{2(3*1-2)}=2^{3}*3^{2}=72$
$72 * 2 = 144 = 12^2 \ 72*3=216=6^3$

Другие возможные натуральные числа:
n = 1;  m = 2
$2^{3(2*2-1)}*3^{2(3*1-2)}=2^{9}*3^{2}=4608$