Question

докажите что не имеют отрицательных корней уравнения
x⁴-5x³+6x²-7x + 5 = 0
x8+x⁴+1=x7+x³+x

Answer 1

1.
$x^4-5x^3+6x^2-7x+5=0 \ x^4+6x^2+5=5x^3+7x \ x^4+6x^2+5=x(5x^2+7)$

$x^4+6x^2+5 geq 5$ при любом x, значит, чтобы равенство выполнялось, правая часть уравнения тоже должна быть ≥5. Нетрудно заметить, что при отрицательном x это невозможно, т.к. $5x^2+7 geq 7$ при любом x, а произведение отрицательного и положительного чисел дает отрицательное.

Доказано.

2.
$x^8+x^4+1=x^7+x^3+x \ x^8+x^4+1=x(x^6+x^2+1)$

$x^8+x^4+1 geq 1$ при любом x, значит, чтобы равенство выполнялось, правая часть уравнения тоже должна быть ≥1. Нетрудно заметить, что при отрицательном x это невозможно, т.к. $x^6+x^2+1 geq 1$ при любом x, а произведение отрицательного и положительного чисел дает отрицательное.

Доказано.