Question

Решите неравенство.
2x>$frac{5x+3}{|x+2|}$

Answer 1

1. Раскрываем модуль при условии $x textgreater -2$:
$2x textgreater dfrac{5x+3}{x+2} \ 2x- dfrac{5x+3}{x+2} textgreater 0 \ dfrac{2x(x+2)-5x-3}{x+2} textgreater 0 \ dfrac{2x^2+4x-5x-3}{x+2} textgreater 0 \ dfrac{2x^2-x-3}{x+2} textgreater 0$
$2x^2-x-3=0 \ D=(-1)^2-4cdot 2cdot(-3)=1+24=25 \ x_1= dfrac{1+5}{2cdot2} =dfrac{3}{2}; x_2= dfrac{1-5}{2cdot2} =-1$
$dfrac{2(x+1)(x- frac{3}{2} )}{x+2} textgreater 0 \ dfrac{(x+1)(x- frac{3}{2} )}{x+2} textgreater 0$
По методу интервалов:
$xin(-2;-1)cup ( frac{3}{2} ;+infty)$
Все решения удовлетворяют условию раскрытия модуля.

2. Раскрываем модуль при условии $x textless -2$:
$2x textgreater -dfrac{5x+3}{x+2} \ 2x+dfrac{5x+3}{x+2} textgreater 0 \ dfrac{2x(x+2)+5x+3}{x+2} textgreater 0 \ dfrac{2x^2+4x+5x+3}{x+2} textgreater 0 \ dfrac{2x^2+9x+3}{x+2} textgreater 0$
$2x^2+9x+3=0 \ D=9^2-4cdot2cdot3=81-24=57 \ x= dfrac{-9pm sqrt{57} }{2cdot 2} =dfrac{-9pm sqrt{57} }{4}$
$dfrac{2(x-dfrac{-9-sqrt{57} }{4} )(x-dfrac{-9+sqrt{57} }{4} )}{x+2} textgreater 0 \ dfrac{(x-dfrac{-9-sqrt{57} }{4} )(x-dfrac{-9+sqrt{57} }{4} )}{x+2} textgreater 0$
Оценим корни:
$7 textless sqrt{57} textless 8 \ -2 textless -9+sqrt{57} textless -1 \ - dfrac{2}{4} textless dfrac{-9+sqrt{57}}{4} textless - dfrac{1}{4} \ Rightarrow dfrac{-9+sqrt{57}}{4} textgreater -2$
$7 textless sqrt{57} textless 8 \ -8 textless -sqrt{57} textless -7 \ -17 textless -9-sqrt{57} textless -16 \ - dfrac{17}{4} textless dfrac{-9-sqrt{57}}{4} textless - dfrac{16}{4} \ Rightarrow dfrac{-9-sqrt{57}}{4} textless -2$
По методу интервалов:
$xin(frac{-9-sqrt{57}}{4};-2)cup (frac{-9+sqrt{57}}{4};+infty)$
Условию раскрытия модуля удовлетворяют решения:
$xin(frac{-9-sqrt{57}}{4};-2)$

3. Решение неравенства есть объединение случаев 1 и 2:
$xin(frac{-9-sqrt{57}}{4};-2)cup(-2;-1)cup ( frac{3}{2} ;+infty)$