Question

Найдите все натуральные числа меньшие 300, имеющие ровно 15 делителей. Если таких чисел нет, то напишите в ответе 0.

Answer 1

Пусть $n=p_1^{k_1}cdot p_2^{k_2}cdot ldots cdot p_m^{k_m} -$ разложение n на простые множители. Каждый делитель числа n имеет подобный вид с теми же основаниями и с показателями от 0 до степени, в которую это простое число входит в разложение числа n. Поэтому n имеет 
$(k_1+1)cdot (k_2+1)cdot ldots cdot (k_m+1)$ делителей. Но по условию n имеет 15 делителей. Это приводит к двум случаям.

1) $n=p_1^{14}$. Этот случай нас не устраивает, так как это число больше, чем 300.

2)  Это когда в разложении n участвуют два простых множителя, причем

$k_1+1=5; k_2+1=3,$ то есть $k_1=4; k_2=2.$

Самое маленькое число такого вида - это $n=2^4cdot 3^2=144.$

Все остальные: $2^4cdot 5^2=400; 3^4cdot 2^2=324$ и так далее, больше, чем 300.

Ответ: 144