Question

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют равную длину равную 40. Найдите стороны треугольника ABC.

Answer 1

Точку пересечения биссектрисы  с АD обозначим Н. 
Рассмотрим ᐃ АВD
В нем биссектриса ВН является высотой, поэтому ᐃАВD - равнобедренный.   АН=НD=84. 
А так как ВD=DС, то АВ=ВD=DС, и ВС=2АВ. 
Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении 
длин прилежащих сторон.
В ᐃАВС  биссектриса делит АС в отношении АВ:ВС=1:2 и АС=3АE 
Из В проведем параллельно АС прямую до пересечения с продолжением медианы АD. Точку пересечения обозначим P.
ᐃ ВDЕ =ᐃ АDС  т.к. ВD=DС, углы при D равны как вертикальные, ∠СВP=∠ВСА,  ⇒ ВС=АС=3 АE
Треугольники АНE и BНP прямоугольные и подобны ( ∠ ВPА=∠PАСкак углы при параллельных АС и ВP и секущей ВС). 
АE:ВP=НE:ВН=1:3
ВН=3НE
ВЕ=4НЕ
НE=ВE:4=42
 ВН=3*42=126
Из тр-ка АНE
АE=(АН²+НE²)
АE=√(84²+42²)
Возвести большое число в квадрат и извлечь корень из него можно   разложением числа на множители.
АE=√(6²14²+3²*14²)=√14²(6²+3²)=14*3√5=42√5
АС=3*42√5=126√5
Из тр-ка АВН
АВ=√(ВН²+АН²)
АВ=√(9²*14²+6²*14²)=√14²(9²+6²)=14*√(9*13)=42√13
ВС=2АВ=84√13
Найдены все три стороны.