Question

Найди мне пожалуйста всю информацию по тригономерическим неравенствам. Очень срочно надо

Answer 1

Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства вида

sinxvee a,

cosxvee a,

tgxvee a,

ctgxvee a,

где vee – один из знаков <,;>,;leq,;geq, ain R.

Вы должны прежде, конечно, хорошо ориентироваться в тригонометрическом круге и уметь решать простейшие тригонометрические уравнения (часть I, часть II).

круг тригонометрический

Кстати, умение решать тригонометрические неравенства может пригодиться, например, в заданиях №11 ЕГЭ по математике.

Сначала мы рассмотрим простейшие тригонометрические неравенства с синусом и косинусом. Во второй части статьи – с тангенсом, котангенсом.

Пример 1.
Решить неравенство: cosx<frac{1}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси косинусов frac{1}{2}.

Все значения cosx, меньшие frac{1}{2}, – левее точки frac{1}{2} на оси косинусов.

87

Отмечаем все точки (дугу, точнее – серию дуг) тригонометрического круга, косинус которых будет меньше frac{1}{2}.

ен

Полученную дугу мы проходим против часовой стрелки (!), то есть от точки frac{pi}{3} до frac{5pi}{3}.

Обратите внимание, многие, назвав первую точку frac{pi}{3}, вместо второй точки frac{5pi}{3} указывают точку -frac{pi}{3}, что неверно!

Становится видно, что неравенству удовлетворяют следующие значения x:

frac{pi}{3}+2pi n
Следите за тем, чтобы «правая/вторая точка» была бы больше «левой/первой».

Не забываем «накидывать» счетчик 2pi n,;nin Z.

Вот так выглядит графическое решение неравенства не на тригонометрическом круге, а в прямоугольной системе координат:

тригонометрические неравенства

Пример 2.
Решить неравенство: cosxgeq -frac{sqrt2}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси косинусов -frac{sqrt2}{2}.

Все значения cosx, большие или равные -frac{sqrt2}{2} – правее точки -frac{sqrt2}{2}, включая саму точку.

Тогда выделенные красной дугой аргументы x отвечают тому условию, что cosxgeq -frac{sqrt2}{2}.

г-frac{3pi}{4}+2pi nleq xleq frac{3pi}{4}+2pi n,; nin Z.

Пример 3.
Решить неравенство: sinxgeq -frac{sqrt3}{2}.

Решение:

Отмечаем на оси синусов -frac{sqrt3}{2}.

Все значения sinx, большие или равные -frac{sqrt3}{2}, – выше точки -frac{sqrt3}{2}, включая саму точку.

67

«Транслируем» выделенные точки на тригонометрический круг:

6 -frac{pi}{3}+2pi n leq xleq frac{4pi}{3}+2pi n,;nin Z

Пример 4.
Решить неравенство: sinx<1.

Решение:

Кратко:

л

frac{pi}{2}+2pi n
или все x, кроме frac{pi}{2}+2pi n,;nin Z.

Пример 5.
Решить неравенство: sinxgeq 1.

Решение:

Неравенство sinxgeq 1 равносильно уравнению sinx=1, так как область значений функции y=sinx – [-1;1].

78н

x=frac{pi}{2}+2pi n,;nin Z.

Пример 6.
Решить неравенство: sinx<frac{1}{3}.

Решение:

Действия – аналогичны применяемым в примерах выше. Но дело мы имеем не с табличным значением синуса.

Здесь, конечно, нужно знать определение арксинуса.

89

pi -arcsinfrac{1}{3}+2pi n
Если не очень понятно, загляните сюда –>+ показать