Question

Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину A(0;2) и уравнения высот  x+y-4=0 и  y=2x, где M-точка пересечения высот.

Answer 1

Вершина  А(0,2) ,
высота ВН (BM):  х+у-4=0  ⇒  х+у=4 ,
высота СK (CM):  у=2х  ⇒  2х-у=0.
Точка А(0,2) не принадлежит ни одной из высот, т.к. при подстановке её координат в уравнения высот не получаем верные равенства:
х+у=0+2=2≠4
у=2х  ⇒  2х=2·0=0≠2 .
Найдём координаты точки пересечения высот, точки М:

$left { {{x+y=4} atop {2x-y=0}} right. ; left { {{3x=4} atop {y=2x}} right. ; left { {{x=frac{4}{3}} atop {y=frac{8}{3}}} right. ; ; M( frac{4}{3}; frac{8}{3} )$

Высота ВН имеет нормальный вектор n₁=(1,1). Он является для стороны АС направляющим вектором s₁=(1,1) . Тогда уравнение АС:

$AC:; ; frac{x-0}{1}=frac{y-2}{1}quad to quad x=y-2; ,; underline {y=x+2}$

Высота СК имеет нормальный вектор n₂=(2,-1). Он явл. направляющим вектором для стороны АВ:

$AB:; ; frac{x-0}{2}= frac{y-2}{-1}; ; to ; ; -x=2y-4; ,; ; 2y=-x+4,; underline {y=-frac{x}{2}+2}$

Чтобы найти уравнение стороны ВС, надо знать координату одной точки на ВС, например точки В или С, и вектор нормальный или направляющий. Мы можем найти нормальный вектор для ВС, это будет вектор АМ, т.к.  точка М  - точка пересечения высот.
Найдём координаты точки В как точку пересечения высоты ВН и стороны АВ:


$left { {{x+y=4} atop {x+2y=4}} right. ; ominus left { {{x=4-y} atop {-y=0}} right. ; left { {{x=4} atop {y=0}} right. ; ; B( 4; 0)$

$overline {AM}=(0- frac{4}{3};2- frac{8}{3})=(-frac{4}{3}; -frac{2}{3} )\\BC:; ; -frac{4}{3}cdot (x-4)- frac{2}{3}cdot (y-0)=0|cdot (-3)\\4cdot (x-4)+2y=0\\ 4x+2y-16=0|:2\\2x+y-8=0\\BC:; ; underline {y=-2x+8}$