Question

Найдите все такие натуральные числа a∈N, что (2a+1)/(a−2) — целое число. В ответ запишите произведение этих чисел.

Answer 1

$dfrac{2a+1}{a-2} = dfrac{2a-4+5}{a-2} = dfrac{2(a-2)+5}{a-2} = dfrac{2(a-2)}{a-2} +dfrac{5}{a-2} =2+dfrac{5}{a-2}$
Сумма будет целым числом, если второе слагаемое $dfrac{5}{a-2}$ - целое число.
Для того чтобы дробь $dfrac{5}{a-2}$ представляла собой целое число, нужно чтобы знаменатель дроби $a-2$ был делителем числа 5. Это возможно при $a-2=pm1;pm 5$.
Проверим, будет ли число $a$ в данных ситуациях натуральным:
$a-2=1Rightarrow a=3 \ a-2=-1Rightarrow a=1 \ a-2=5Rightarrow a=7 \ a-2=-5Rightarrow a neq -3(-3notin N)$
Искомые числа а: 1, 3, 7. Их произведение: 21
Ответ: 21