Question

Найдите производную
$frac{(x-4)* sqrt{8x-x^2-7} }{2}-9arccos sqrt frac{x-1}{6}$

Answer 1

Производная сложной функции.
В виду громоздкости формулы, для простоты производную будем брать постепенно. Т.к. производная разности равна разности производных, то сначала возьмём производную уменьшаемого, затем - вычитаемого.

$( frac{(x-4)* sqrt{8x-x^2-7} }{2})' = \ \ = frac{1}{2} * [ (x-4)' * sqrt{8x-x^2-7} + (x-4)* (sqrt{8x-x^2-7})' ] = \ \ = frac{1}{2} * [ 1 * sqrt{8x-x^2-7} + (x-4)* frac{1}{2} * frac{1}{sqrt{8x-x^2-7}}*(8-2x) ] = \ \ = frac{1}{2} * [ sqrt{8x-x^2-7} + (x-4) * frac{4-x}{sqrt{8x-x^2-7}} ]$

Использовали правило дифференцирования произведения: производную первого множителя умножили на второй множитель плюс первый множитель умноженный на производную второго множителя.
Второй множитель - функция сложная, сначала взяли производную от корня, затем умножили на производную того, что под корнем. Корень ушёл в знаменатель, т.к. начальная степень квадратного корня - это 1/2, при взятии производной из 1/2 вычли 1, получилось минус 1/2. Т.е. корень остался (1/2), а минус показывает, что надо брать обратную величину, следовательно записали в знаменателе.

Производная вычитаемого - арктангенса - табличная. Т.к. под арктангенсом ещё функция, то берём по правилам дифференцирования сложной функции. Сначала от арктангенса, затем умножаем на производную квадратного корня, наконец, умножаем на производную того, что под квадратным корнем.

$(9arccos sqrt frac{x-1}{6} )'= \ \ = -9* frac{1}{ sqrt{1 - (frac{x-1}{6})^2} } * frac{1}{2} * frac{1}{ sqrt frac{x-1}{6}} * frac{1}{6} = \ \ = - frac{3}{4} * frac{1}{ sqrt{1 - (frac{x-1}{6})^2} } * frac{ sqrt{6} }{ sqrt {x-1}}$

Дальше неинтересно, упрощать и преобразовывать можно до "бесконечности".

Осталось собрать две половинки:

$= frac{1}{2} * [ sqrt{8x-x^2-7} + (x-4) * frac{4-x}{sqrt{8x-x^2-7}} ] - frac{3}{4} * frac{1}{ sqrt{1 - (frac{x-1}{6})^2} } * frac{ sqrt{6} }{ sqrt {x-1}}$