Question

Вычислить объем тетраэдра АВСD и его высоту, опущенную из вершины А
а(1.3.6)
б(2.2.1)
с(-1.0.1)
д(-4.6.-3)

Answer 1

Находим векторы:
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}     1   -1   -5    √27 =   5,196152423
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}   -3   -2    0     √13  =  3,605551275
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}   -2   -3   -5     √38  =  6,164414003
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}   -5    3   -9    √115 = 10,72380529
Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}   -6    4   -4      √68  =  8,246211251
Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}  -3    6    -4      √61  = 7,810249676.
Произведение векторов a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx} Объем пирамиды равен:  (AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3
                 x      y      z
AB*AC=  -10    15    -5.
V = (1/6) * 140 = 140/6 = 70/3 ≈ 23,333333 куб.ед.

Площадь грани ВСД:
BCD [BC ; BD]= (1/2)√(8² + 12² + 24²) = (1/2)√784 = 14 кв.ед.
Высота, опущенную из вершины А, равна:
H=3V/S = (3*(70/3))/14 = 5.