Question

Помогите, пожалуйста, найти производную

Answer 1

1) f(x) = x⁴ - 4x² + 1
f'(x) = 4x³ - 8x
4x³ - 8x > 0
4x(x² - 2) > 0
4x(x - √2)(x + √2) > 0
С помощью метода интервалов получаем:
-√2 < x < 0 и x > √2
Ответ: (-√2; 0) ∪ (√2; +∞)

2) f(x) = 3x⁴ - 4x³ - 12x² + 3
f'(x) = 12x³ - 12x² - 24x
12x³ - 12x² - 24x > 0
x³ - x² - 2x > 0
x(x² - x -2) > 0
x(x + 1)(x - 2) > 0
С помощью метода интервалов получаем:
-1 < x < 0 и x > 2
Ответ: (-1; 0) ∪ (2; +∞)

3)
$f(x) = (x + frac{1}{x} )^2 \ f(x) = x^2+2x* frac{1}{x} + frac{1}{x^2} \ f'(x) = (x^2 + frac{1}{x^2} +2)'=2x- frac{2}{x^3} \ 2x- frac{2}{x^3} textgreater 0 \ frac{2x^4-2}{x^3} textgreater 0\ frac{x^4-1}{x^3} textgreater 0$
С помощью метода интервалов получаем:
-1 < x < 0 и x > 1
Ответ: (-1; 0) ∪ (1; +∞)

4) 
$f(x) = frac{x^3+16}{x} \ f(x) = x^2+ frac{16}{x} \ f'(x) = 2x - frac{16}{x^2} \ 2x - frac{16}{x^2} textgreater 0 \ frac{2(x^3-8)}{x^2} textgreater 0$
С помощью метода интервалов получаем:
x > 2
Ответ: (2; +∞)

5) f(x) = (x + 2)²√x
f'(x) = ((x + 2)²)'√x + (x+2)²(√x)' = 2(x+2)√x + (x² + 4x + 4)1/2√x
$f'(x) = ((x + 2)^2)' sqrt{x} + (x+2)^2( sqrt{x} )' = \ = 2(x+2) sqrt{x} + (x^2 + 4x + 4) frac{1}{2 sqrt{x} } = 2x sqrt{x} +4 sqrt{x} +frac{x^2 + 4x + 4}{2 sqrt{x} } = \ = frac{x^2 + 4x + 4+4x^2+8x}{2 sqrt{x} } =frac{5x^2 + 12x + 4}{2 sqrt{x} } \ frac{5x^2 + 12x + 4}{2 sqrt{x} } textgreater 0 \ frac{(x+2)(5x+2)}{2 sqrt{x} } textgreater 0$
С помощью метода интервалов получаем:
x > 0
Ответ: (0; +∞)

6) f(x) = (x - 3)√x
$f'(x) = (x - 3)' sqrt{x} + (x-3)( sqrt{x} )' = sqrt{x} +(x-3) frac{1}{2 sqrt{x} } = \ =sqrt{x} + frac{x-3}{2 sqrt{x} }=frac{2x+x-3}{2 sqrt{x} }=frac{3(x-1)}{2 sqrt{x} } \ frac{3(x-1)}{2 sqrt{x} } textgreater 0$
С помощью метода интервалов получаем:
x > 1
Ответ: (1; +∞)