Question

Построить треугольник

Answer 1

$A(-2;2) , B(-8;-5), C(4;0)$.

1)

Прямая $AB$ проходит через точки $(-2;2)$ и $(-8;-5)$.
Найдём уравнение этой прямой, решив систему уравнений:$begin{cases} & 2=-2 a+b \ & -5=-8a+b end{cases}$
Откуда $a= frac{7}{6}, b= frac{13}{3} .$ А уравнение стороны  $AB$  выглядит так: $y= frac{7}{6} x+ frac{13}{3} .$

Прямая $BC$ проходит через точки $(-8;-5)$ и $(4;0)$.
Найдём уравнение этой прямой, решив систему уравнений:$begin{cases} & -5=-8 a+b \ & 0=4a+b end{cases}$
Откуда $a= frac{5}{12}, b= -frac{5}{3} .$ А уравнение стороны  $AC$ выглядит так: $y= frac{5}{12} x- frac{5}{3} .$

Прямая $AC$ проходит через точки $(-2;2)$ и $(4;0)$.
Найдём уравнение этой прямой, решив систему уравнений:
$begin{cases} & 2=-2 a+b \ & 0=4a+b end{cases}$
Откуда $a= -frac{1}{3}, b= 1 .$ А уравнение стороны $BC$  выглядит так: $y= -frac{1}{3} x+ frac{4}{3}$.


2)

Координаты точки $M$ пересечения медиан треугольника находятся по формуле $Mleft( dfrac{x_1+x_2+x_3}{3} ; dfrac{y_1+y_2+y_3}{3} right)$ , где $x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3$ - координаты вершин соответствующих сторон треугольника.
Значит, точка пересечения медиан имеет следующие координаты: $Mleft( dfrac{-2+(-8)+4}{3} ; dfrac{2+(-5)+0}{3} right)=Mleft( -2 ; -1 right).$


3)

Расстояние от точки $(x_0;y_0)$ до прямой $ax+by+c=0$ вычисляется по формуле $d=dfrac{|ax_0+by_0+c|}{sqrt{a^2+b^2}}$.
Уравнение стороны $BC$ перепишем в виде $y= frac{5}{12} x-frac{5}{3}=0 Leftrightarrow 5x-12y-20=0$.
Расстояние от точки $A(-2;2)$ до прямой $5x-12y-20=0$ и равно длине высоты $AH_A$ :
$AH_A=dfrac{|5cdot(-2)+(-12)cdot2+(-20)|}{sqrt{5^2+12^2}} = dfrac{54}{13}$.



4) Площадь треугольника равна полупроизведению высоты на основание, на которое опущена высота. Конкретно в нашем треугольнике:
$S= frac{1}{2} BCcdot AH_A$.

Длину $BC$ найдём по теореме Пифагора:
$BC=sqrt{(-8-4)^2+(-5-0)^2}=13$.

$S= frac{1}{2} cdot13 cdotfrac{54}{13} =27$.

Answer 2

Огромное спасибо