Question

найти область значений функции f(x)=7cosx-9sinx+13


можете все расписать пожалуйста

Answer 1

Для начала преобразуем функцию $g(x)=7 cos x-9 sin x$ . Для этого воспользуемся так называемым методом дополнительного (вспомогательного) аргумента.

$g(x)=7cos x-9sin x=$
$=sqrt{7^2+9^2}left(dfrac{7}{sqrt{7^2+9^2}}cdotcos x- dfrac{9}{sqrt{7^2+9^2}}cdotsin x right)=$
$=sqrt{130}left(dfrac{7}{sqrt{130}}cdotcos x- dfrac{9}{sqrt{130}}cdotsin x right) .$

Введём угол $alpha$ такой, что $begin{cases} & cos alpha =dfrac{7}{sqrt{130}} \ & sin alpha =dfrac{9}{sqrt{130}} end{cases}$.

Теперь функция принимает вид: $g(x)=sqrt{130}left(cos alpha cos x-sin alpha sin xright) = sqrt{130}cos { (alpha +x)} .$

Вспоминаем про исходную функцию: $f(x)=g(x)+13.$ 

Проведём цепочку эквивалентных преобразований:
$1geqslantcos {( alpha +x)} geqslant-1 \ sqrt{130}geqslant sqrt{130}cos {( alpha +x)}geqslant-sqrt{130} \ sqrt{130}geqslant g(x)geqslant-sqrt{130} \ sqrt{130}+13geqslant g(x)+13geqslant-sqrt{130} +13 \ sqrt{130}+13geqslant f(x)geqslant-sqrt{130} +13.$


Ответ: $sqrt{130}+13geqslant f(x)geqslant-sqrt{130} +13.$

Answer 2

БОЛЬШОЕ СПАСИБО!