Question

Докажите что при любом значении n€Z значение выражения 2n^3+4n-9 кратно 3

Answer 1

Примем известный всем метод математической индукции.
1) Проверим истинность утверждения при n=1, то есть,
$(2cdot1^2+4cdot 1-9)~vdots ~3\ \ (-3)~vdots ~3$
P(1) - истинное утверждение.

2) Предположим, что и при n=k выражение $(2k^3+4k-9)~vdots ~3$ истинно.

Покажем, что тогда имеет место P(k+1), то есть $(2(k+1)^3+4(k+1)-9)~vdots ~3$

$2(k^3+3k^2+3k+1)+4(k+1)-9)=\ \ =2k^3+6k^2+6k+2+4k+4-9=(2k^3+4k-9)+6(k^2+k+1)$
и, как $(2k^3+4k-9)$ , так и $6(k^2+k+1)$ делятся на 3, то и их сумма $(2k^3+4k-9)+6(k^2+k+1)$ делится на 3.

Таким образом, P(k+1) - справедливо утверждение, и, следовательно $(2n^3+4n-9)~vdots~3,~~forall nin mathbb{N}$

$(2n^3+4n-9)~vdots~3,~~forall nin mathbb{Z}$