Question

Найти частные решения дифференциальных уравнений.
1)dx/cos^2 x cosy=-ctgsin ydy, если y=П, при x=П/3
2)dy/dx-2y/x+1 +(x+1)^3=0
3)y^n+y'-6y=0, если у=3 и у'=1 , при х=0

Answer 1

$1); ; frac{dx}{cos^2xcdor cosy}=-ctg(siny)cdot dy\\ int frac{dx}{cos^2x}=-int ctg(siny)cdot underbrace {cosycdot dy}_{d(siny)}\\tgx=-ln|sinx|+C\\y( frac{pi }{3} )=pi ; :; ; tg frac{pi }{3}=-ln|sinfrac{pi }{3}|+C\\sqrt3=-ln|frac{sqrt3}{2}|+C; ,; ; ; C=sqrt3+lnfrac{sqrt3}{2} \\tgx=-ln|sinx|+sqrt3+ln frac{sqrt3}{2}$

$2); ; frac{dy}{dx}-frac{2y}{x+1}=-(x+1)^3 \\y=uv,; ; frac{dy}{dx}=y'=u'v+uv'\\u'v+uv'- frac{2uv}{x+1}=-(x+1)^3\\ u'v+ucdot (v'- frac{2v}{x+1})=-(x+1)^3\\a); ; frac{dv}{dx}=frac{2v}{x+1} ; ,; ; int frac{dv}{dx} =int frac{2, dx}{x+1} ; ,; ; ln|v|=2cdot ln|x+1|\\v=(x+1)^2\\b); ; u'cdot (x+1)^2=-(x+1)^3\\ frac{du}{dx}=-(x+1) ; ,; ; int du=-int (x+1)dx\\u=- frac{(x+1)^2}{2}+C \\c); ; y=(x+1)^2cdot Big (C-frac{(x+1)^2}{2}Big )$

$3); ; y''+y'-6y=0\\k^2+k-6=0; ,; ; k_1=-3; ,; ; k_2=2\\y=C_1cdot e^{-3x}+C_2cdot e^{2x}\\y(0)=3:; ; 3=C_1cdot e^0+C_2cdot e^0; ,; ; 3=C_1+C_2\\y'(x)=-3C_1cdot e^{-3x}+2C_2cdot e^{2x}\\y'(0)=1:; ; 1=-3C_1+2C_2\\C_1=3-C_2; ; to ; ; 1=-3(3-C_2)+2C_2\\1=-9+5C_2 \\C_2=2; ,; ; C_1=3-2=1\\y=e^{-3x}+2e^{2x}$