Question

!!!!!!!!!!!!!****!!!!!!!!!

Answer 1

В 1 примере в числителе арифметическая прогрессия.
Сумма арифметической прогрессии считается по формуле:
(для натуральных чисел)
$displaystyle S=frac{n(n+1)}2$

$displaystyle 1.quad lim_{n to infty} frac{1+2+3...+n}{n^2}=lim_{n to infty} frac{frac{n(n+1)}{2}}{n^2}=lim_{n to infty} frac{n^2+n}{2n^2}=\\=lim_{n to infty} frac{frac{1}{n^2}(n^2+n)}{frac{1}{n^2}(2n^2)}=lim_{n to infty} frac{1+frac{1}n}{2}=frac{1+0}2=boxed{frac{1}2}$


$displaystyle 2. quad lim_{n to infty} n^2(n-sqrt{n^2+1})= lim_{n to infty} frac{n^2(n-sqrt{n^2+1})(n+sqrt{n^2+1})}{n+sqrt{n^2+1}}=\\\=lim_{n to infty} frac{n^2(n^2-(n^2+1)}{n+sqrt{n^2+1}}=lim_{n to infty} frac{n^2(n^2-n^2-1)}{n+sqrt{n^2+1}}=\\\=-lim_{n to infty} frac{frac{n^2}{n^2}}{frac{1}{n^2}(n+sqrt{n^2+1})}=-lim_{n to infty} frac{1}{frac{1}{n}+sqrt{frac{n^2}{n^4}+frac{1}{n^4}}}=$

$displaystyle =-lim_{n to infty} frac{1}{frac{1}{n}+sqrt{frac{1}{n^2}+frac{1}{n^4}}}=-frac{1}{0+sqrt{0+0}}=-frac{1}0=boxed{-infty }$

Формула суммы для квадратов n натуральных чисел:
$displaystyle S=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$displaystyle 3.quad lim_{n to infty} frac{1+4+9+...n^2}{n^2+3n+2}= lim_{n to infty} frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^2+3n+2)}=...$

Сразу видно, что в числителе старшая степень: 3
В знаменателе: 2
Значит, предел стремится к бесконечности.
Но вот всё таки подробное решение:

$displaystyle lim_{n to infty} frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n^2+3n+2)}= left[begin{array}{ccc}n^2+3n+2\D=9-8=1\x_{12}=frac{-3б1}{2}=-1,-2end{array}right] =\\\=lim_{n to infty} frac{n(n+1)(2n+1)}{6(n+1)(n+2)}=lim_{n to infty} frac{n(2n+1)}{6(n+2)}= lim_{n to infty} frac{2n^2+n}{6n+12}=\\\=lim_{n to infty} frac{frac{2n^2}{n^2}+frac{n}{n^2}}{frac{6n}{n^2}+frac{12}{n^2}}=frac{2+0}{0+0}=frac{2}{0}=boxed{infty}$