• Предмет: Алгебра
  • Автор: darivorobey
  • Вопрос задан 7 лет назад

Исследовать функцию f(x) на непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они существуют.

Приложения:

Ответы

Ответ дал: Newtion
0
Утверждение:

Функция f непрерывна в mathbb Rsetminus {2}.

Доказательство:

Для всех x leq 1, функция f является постоянной.

Следовательно, для всех x_0 textless  1 выполняется:

displaystyle  lim_{x to x_0} f(x)=1=f(x_0) 

Т.е. данная функция непрерывна в (-infty,1).

Докажем что,

displaystyle  lim_{x to 1} f(x)=f(1)=1

Для этого достаточно найти односторонние пределы:

 displaystyle lim_{x to 1^-} f(x),  lim_{x to 1^+} f(x)

Для всех x textless  1 выполняется f(x)=1, следовательно:

displaystyle lim_{x to 1^-} f(x) =1=f(1)

Для всех 1 textless  x leq 2 выполняется f(x)=2-x^2, следовательно:

displaystyle lim_{x to 1^+} f(x) =displaystyle lim_{x to 1^+} (2-x^2)=2-1=1=f(1)

Отсюда следует:

displaystyle lim_{x to 1} f(x)=f(1)

Следовательно, f непрерывна в x=1.

Для всех x textgreater  2, выполняется f(x)=x-1.

Следовательно, для всех x_0 in (2,+infty) выполняется:

displaystyle  lim_{x to x_0} f(x)= lim_{x to x_0} (x-1)=x_0-1=f(x_0)

Т.е. f непрерывна в (2,+infty).

Таким же образом, f непрерывна в (1,2), т.к.:

displaystyle  lim_{x to x_0} f(x)=lim_{x to x_0} (2-x^2)=2-x_0^2=f(x_0)

Для всех x_0 in (1,2).

Теперь докажем что x_0=2 точка разрыва типа "скачок":

Для всех 1 textless  x textless  2f(x)=2-x^2 следовательно:

displaystyle  lim_{x to 2^-}f(x)=  lim_{x to 2^-} (2-x^2)=2-2^2=-2

Однако, для всех x textgreater  2f(x)=x-1. Следовательно:

displaystyle lim_{x to 2^+}f(x)= lim_{x to 2^+}(x-1)=2-1=1

Т.е. displaystyle lim_{x to 2^+}f(x)nelim_{x to 2^-}f(x).

В итоге, получаем что f непрерывна в mathbb R setminus{2}.

Ч.Т.Д.
Вас заинтересует