Исследовать функцию f(x) на непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они существуют.
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/605/605bb57fa3ffe71edbdc5ceb089cefc6.png)
Ответы
Ответ дал:
0
Утверждение:
Функция
непрерывна в
.
Доказательство:
Для всех
, функция
является постоянной.
Следовательно, для всех
выполняется:
Т.е. данная функция непрерывна в
.
Докажем что,
![displaystyle lim_{x to 1} f(x)=f(1)=1 displaystyle lim_{x to 1} f(x)=f(1)=1](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++lim_%7Bx+to+1%7D+f%28x%29%3Df%281%29%3D1)
Для этого достаточно найти односторонние пределы:
![displaystyle lim_{x to 1^-} f(x), lim_{x to 1^+} f(x) displaystyle lim_{x to 1^-} f(x), lim_{x to 1^+} f(x)](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+lim_%7Bx+to+1%5E-%7D+f%28x%29%2C++lim_%7Bx+to+1%5E%2B%7D+f%28x%29)
Для всех
выполняется
, следовательно:
![displaystyle lim_{x to 1^-} f(x) =1=f(1) displaystyle lim_{x to 1^-} f(x) =1=f(1)](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+lim_%7Bx+to+1%5E-%7D+f%28x%29+%3D1%3Df%281%29)
Для всех
выполняется
, следовательно:
![displaystyle lim_{x to 1^+} f(x) =displaystyle lim_{x to 1^+} (2-x^2)=2-1=1=f(1) displaystyle lim_{x to 1^+} f(x) =displaystyle lim_{x to 1^+} (2-x^2)=2-1=1=f(1)](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+lim_%7Bx+to+1%5E%2B%7D+f%28x%29+%3Ddisplaystyle+lim_%7Bx+to+1%5E%2B%7D+%282-x%5E2%29%3D2-1%3D1%3Df%281%29)
Отсюда следует:
![displaystyle lim_{x to 1} f(x)=f(1) displaystyle lim_{x to 1} f(x)=f(1)](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+lim_%7Bx+to+1%7D+f%28x%29%3Df%281%29)
Следовательно,
непрерывна в
.
Для всех
, выполняется
.
Следовательно, для всех
выполняется:
![displaystyle lim_{x to x_0} f(x)= lim_{x to x_0} (x-1)=x_0-1=f(x_0) displaystyle lim_{x to x_0} f(x)= lim_{x to x_0} (x-1)=x_0-1=f(x_0)](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++lim_%7Bx+to+x_0%7D+f%28x%29%3D+lim_%7Bx+to+x_0%7D+%28x-1%29%3Dx_0-1%3Df%28x_0%29)
Т.е.
непрерывна в
.
Таким же образом,
непрерывна в
, т.к.:
![displaystyle lim_{x to x_0} f(x)=lim_{x to x_0} (2-x^2)=2-x_0^2=f(x_0) displaystyle lim_{x to x_0} f(x)=lim_{x to x_0} (2-x^2)=2-x_0^2=f(x_0)](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++lim_%7Bx+to+x_0%7D+f%28x%29%3Dlim_%7Bx+to+x_0%7D+%282-x%5E2%29%3D2-x_0%5E2%3Df%28x_0%29)
Для всех
.
Теперь докажем что
точка разрыва типа "скачок":
Для всех
,
следовательно:
![displaystyle lim_{x to 2^-}f(x)= lim_{x to 2^-} (2-x^2)=2-2^2=-2 displaystyle lim_{x to 2^-}f(x)= lim_{x to 2^-} (2-x^2)=2-2^2=-2](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle++lim_%7Bx+to+2%5E-%7Df%28x%29%3D++lim_%7Bx+to+2%5E-%7D+%282-x%5E2%29%3D2-2%5E2%3D-2)
Однако, для всех
,
. Следовательно:
![displaystyle lim_{x to 2^+}f(x)= lim_{x to 2^+}(x-1)=2-1=1 displaystyle lim_{x to 2^+}f(x)= lim_{x to 2^+}(x-1)=2-1=1](https://tex.z-dn.net/?f=displaystyle+lim_%7Bx+to+2%5E%2B%7Df%28x%29%3D+lim_%7Bx+to+2%5E%2B%7D%28x-1%29%3D2-1%3D1)
Т.е.
.
В итоге, получаем что
непрерывна в
.
Ч.Т.Д.
Функция
Доказательство:
Для всех
Следовательно, для всех
Т.е. данная функция непрерывна в
Докажем что,
Для этого достаточно найти односторонние пределы:
Для всех
Для всех
Отсюда следует:
Следовательно,
Для всех
Следовательно, для всех
Т.е.
Таким же образом,
Для всех
Теперь докажем что
Для всех
Однако, для всех
Т.е.
В итоге, получаем что
Ч.Т.Д.
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
8 лет назад
8 лет назад
8 лет назад