Question

Какой цифрой может оканчиваться 5-я степень натурального числа? Обоснуйте ответ.

Answer 1

Может получиться любая цифра. Это можно доказать, используя малую теорему Ферма, сформулировав ее в виде 

$a^pequiv a (mod p),$ 

если p - простое число. Отсюда 

$a^p-aequiv 0 (mod p),$

что означает, в частности, при p=5, что $a^5-a$ делится на 5. А поскольку четность этого числа очевидна, оно делится на 10, что означает, что у пятой степени a такая же последняя цифра, что и у a.

А так можно и непосредственно проверить справедливость этого факта: у пятой степени "a" та же последняя цифра, что и у "a"