Question

Егэ математика профиль

Answer 1

$left(x+dfrac{3}{x}right)cdotbigl(log_{5-x}(x^2-6x+9)bigr)^2geqslant4cdotbigl(log_{5-x}(x^2-6x+9)bigr)^2 \ \ left(x+dfrac{3}{x}right)cdotBigl(log_{5-x}bigl((x-3)^2bigr)Bigr)^2geqslant4cdotBigl(log_{5-x}bigl((x-3)^2bigr)Bigr)^2 \ \ left(x+dfrac{3}{x}right)cdotBigl(2log_{5-x}bigl|x-3bigr|Bigr)^2geqslant4cdotBigl(2log_{5-x}bigl|x-3bigr|Bigr)^2$

Переносим всё в левую часть:

$left(x+dfrac{3}{x}right)cdotBigl(2log_{5-x}bigl|x-3bigr|Bigr)^2-4cdotBigl(2log_{5-x}bigl|x-3bigr|Bigr)^2geqslant0 \ \ Bigl(2log_{5-x}bigl|x-3bigr|Bigr)^2cdotleft(leftBigl(x+dfrac{3}{x}Bigr)-4right)geqslant0$

Множитель, который положителен при всех значениях $x$ из области определения, можно отбросить. При этом не забудем про ОДЗ и про случай, когда этот множитель равен нулю. (Так как неравенство нестрогое.)

Найдём ОДЗ: 

$begin{cases} & 5-x textgreater 0 \ & 5-xneq1 \ & |x-3| textgreater 0 \ & xneq0 end{cases}; Leftrightarrow ; begin{cases} & x textless 5 \ & xneq4 \ & xneq3 \ & xneq0 end{cases}$



На области определения(!) наше неравенство равносильно совокупности двух условий:
1)
$2log_{5-x}bigl|x-3bigr|=0 \ log_{5-x}bigl|x-3bigr|=0 \ log_{5-x}bigl|x-3bigr|=log_{5-x}1 \ |x-3|=1 \ x_1=4, x_2=2$

2)
$x+dfrac{3}{x}-4geqslant0 \ \ dfrac{x^2-4x+3}{x} geqslant0 \ \ dfrac{(x-3)(x-1)}{x} geqslant0$
Решая это неравенство методом интервалов, получаем: $0 textless xleqslant1$ или $xgeqslant3$ .



В итоге мы получили систему из ОДЗ и совокупности:
$begin{cases} & x textless 5 \ & xneq4 \ & xneq3 \ & xneq0 \ & left[ begin{gathered} left begin{gathered} x=4\ x=2\ 0 textless xleqslant1\ xgeqslant3 end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right. end{cases}$

После нахождения пересечения множества допустимых $x$ и множества решений получаем ответ:
$0 textless xleqslant 1$ , или $x=2$ , или $3 textless x textless 4$ , или $4 textless x textless 5$.
Или, что то же самое, но в другой форме:
$x in(0;1]cup{2}cup(3;4)cup(4;5)$ .