Question

$left { {{x^2-2xy-3y^2=0 atop {x^2+2y^2=3} right.$

Answer 1

$left { {{x^2-2xy-3y^2=0} atop {x^2+2y^2=3}} right. ; left { {{(3-2y^2)-2xy-3y^2=0} atop {x^2=3-2y^2}} right. ; left { {{3-5y^2-2xy=0} atop {x^2=3-2y^2}} right. ; left { {{3=5y^2+2xy} atop {3=x^2+2y^2}} right. \\5y^2+2xy=x^2+2y^2; ; to ; ; ; x^2-2xy-3y^2=0; |:y^2ne 0\\( frac{x}{y} )^2-2cdot (frac{x}{y} )-3=0\\t= frac{x}{y} ; ,; ; t^2-2t-3=0; ,; ; ; t_1=-1; ,; ; t_2=3; (teorema; Vieta)\\a); ; frac{x}{y} =-1; ,; ; x=-y\\x^2+2y^2=3; ; to ; ; (-y)^2+2y^2=3; ,; ; 3y^2=3; ,; ; y^2=1; ; to ; ; y=pm 1$

$x=-y; ; to ; ; ; x=-(pm 1)=mp 1\\y_1=1; ,; ; x_1=-1\\y_2=-1; ,; ; x_2=1\\b); ; frac{x}{y} =3; ; to ; ; ; x=3y\\x^2+2y^2=3; ; to ; ; ; (3y)^2+2y^2=3; ,; ; 11y^2=3; ,; ; y^2= frac{3}{11} ; ,; ; y=pm sqrt{ frac{3}{11} }\\x=3y=pm 3cdot sqrt{ frac{3}{11} }\\y_3= sqrt{frac{3}{11}}; ,; ; x_3=3 sqrt{ frac{3}{11} } \\y_4=-sqrt{ frac{3}{11} } ; ,; ; x_4=-3cdot sqrt{ frac{3}{11} } \\Otvet:; ; (1,-1); ,; ; (-1,1); ,; ; (3sqrt{frac{3}{11}},sqrt{frac{3}{11}}); ,; ; (-3sqrt{frac{3}{11}},-sqrt{frac{3}{11}}); .$

P.S. Проверим, является ли у=0 решением системы.
        Подставим у=0 в уравнения системы, получим:   $left { {{x^2=0} atop {x^2=3}} right.$  . Одновременно не может квадрат какого-либо числа равняться и 0 и 3, то есть у=0 не явл. решением системы.