Question

$lim_{x to o} frac{cos(x*e^x)-cos(x*e^{-x})}{x^3}$
помогите, пожалуйста

Answer 1

$lim_{n to 0} frac{cos(xe^x)-cos(xe^{-x})}{x^3}=$
$=lim_{n to 0} frac{-2sin frac{xe^x+xe^{-x}}{2}sin frac{xe^x-xe^{-x}}{2} }{x^3}$
sinx ~ x при x -> 0, две двойки сократится, одна в знаменатель пойдет
$=lim_{n to 0} frac{-x(e^x+e^{-x})x(e^x-e^{-x})}{2x^3}$
$=lim_{n to 0} frac{-x^2(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})}{2x^3}$
$=lim_{n to 0} frac{-(e^x+e^{-x})(e^x-e^{-x})}{2x}$
$=lim_{n to 0} frac{-(e^{2x}-1+1-e^{-2x})}{2x}$
$e^x-1$ ~ x при x-> 0
$=lim_{n to 0} frac{-((e^{2x}-1)-(e^{-2x}-1)}{2x}$
$=lim_{n to 0} frac{-((2x)-(-2x))}{2x} =lim_{n to 0} frac{-4x}{2x} =-2$