Question

Решите дифференциальное уравнение
y''-5y'+4y=e^3x

Answer 1

$y(x)=y_0(x)+y_1(x)$, где $y_0(x)$ — общее решение однородного уравнения, а $y_1(x)$ — какое-то частное решение неоднородного.

Решаем однородное уравнение.
$y_0''-5y_0'+4y_0=0$

Характеристическое уравнение $lambda^2-5lambda+4=0$ имеет два различных вещественных корня $lambda_1=1$ и $lambda_2=4$, поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
$y_0(x)=Ae^{x}+Be^{4x},~A,Binmathbb R$

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде $y_1=Ce^{3x}$. Подставляем это решение в уравнение:
$y_1''-5y_1'+4y_1=e^{3x}\ 9Ce^{3x}-5cdot3Ce^{3x}+4Ce^{3x}=e^{3x}\ 9C-15C+4C=1\ 2C=-1\ C=-dfrac12\ y_1(x)=-dfrac12e^{3x}$

$y(x)=y_0(x)+y_1(x)=Ae^{x}+Be^{4x}-dfrac12e^{3x}$