Question

Сторона квадрата ABCD равна 18 см , M ∈[AB],N∈[BC], так что AM=6см BN=4см Найдите радиус окружности описанной около треугольника DMN

Answer 1

(см. рисунок)
Радиус описанной окружности вычисляется по такой формуле:
$displaystyle R=frac{abc}{4S}$
То есть наша задача состоит в том, чтобы найти все стороны треугольника, а так же его площадь.

Найдем стороны треугольника по теореме Пифагора.

$MN=sqrt{MB^2+BN^2}=sqrt{12^2+4^2}=sqrt{144+16}=sqrt{160}=4sqrt{10}\\ND=sqrt{NC^2+CD^2}=sqrt{14^2+18^2}=sqrt{196+324}=sqrt{520}=2sqrt{130}\\MD=sqrt{MA^2+AD^2}=sqrt{6^2+18^2}=sqrt{36+324}=sqrt{360}=2sqrt{90}$

Площадь треугольника можно найти либо по формуле Герона. Либо можно найти площадь квадрата и из него вычесть площадь других треугольников. Давайте найдем площадь по второму варианту.

$displaystyle S_{MDN}=S_{ABCD}-(S_{AMD}+S_{MBN}+S_{NCD})\\S_{ABCD}=18*18=324\\S_{AMD}=frac{1}{2}*6*18=54\\S_{MBN}=frac{1}2*12*4=24\\S_{NCD}=frac{1}2*14*18=126\\S_{MDN}=324-(54+24+126)=120$

Наконец, радиус описанной окружности:
$displaystyle R=frac{abc}{4S}=frac{4sqrt{10}*2sqrt{130}*2sqrt{90}}{4*120}=frac{sqrt{(5*2)*(5*13*2)*(5*9*2)}}{30}\\=frac{5*3*2sqrt{13*5*2}}{30}=frac{30sqrt{130}}{30}=boxed{sqrt{130}}$

Answer 2

Спасибо большое ,ты меня спас. Надеюсь ты получил балы за задание :)

Answer 3

Тут можно было все проще делать. Очевидно, что треугольники DAM и MBN подобны, а значит угол DMN=90, откуда радиус окружности равен ND/2=2sqrt(65). В ответе же совсем другое, - явно что-то пошло не так )))

Answer 4

А, у вас ND - неверно посчитана. Она должна быть 2sqrt(130)

Answer 5

B тогда ответ sqrt(130)

Answer 6

Можно было проще: треугольники DAM и MBN подобны, а значит ∠DMN=90°, т.е. искомый радиус равен ND/2=√130.