Question

Точка дотику вписаного кола ділить гіпотенузу прямокутного трикутника на відрізки, один з яких на 14 см більший за другий. Знайдіть площу трикутника, якщо радіус вписаного кола дорівнює 4 см.

Answer 1

Касательные, проведенные к окружности из одной точки равны.
Гипотенуза делится точкой касания на отрезки Х и Х+14.
Пусть угол С прямой, центр вписанной окружности О, а точки касания со сторонами треугольника D,E и F.
Заметим, что CDOF - квадрат (доказывать не надо?).
Тогда стороны нашего прямоугольного треугольника  АВС равны АВ=Х+Х+14=2Х+14, АС=Х+4 и ВС=4+Х+14=Х+18.
Площадь треугольника можно выразить так:
S=p*r, где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
S=(4X+36)*4/2=8X+72  (1).
Но площадь равна и половине произведения катетов.
S=(1/2)*AC*BC или S=(1/2)*(4+X)(18+X) или
S=(1/2)*(X²+22X+72) (2).
Приравняем оба выражения:
2*(Х+18Х)=X²+22X+72.
Х²+6Х-72=0. Решая это квадратное уравнение, имеем два корня.
Х1=-3-9 - не удовлетворяет условию.
Х2=-3+9=6см.
Итак, катеты треугольника равны:
АС=10см и ВС=24см.  Тогда площадь равна
S=(1/2)*AC*BC или S=(1/2)*10*24=120см².
Ответ: S=120см².