Question

7.4. Турнир лучников проводился по следующим правилам. С каждого участника собрали одинаковый взнос. Организато- ры турнира забрали 1/3 от всех поступивших денег, а остав- шиеся деньги пошли в призовой фонд турнира. Робин Гуд, победивший в турнире, получил больше каждого из осталь- ных участников — 1/6 от призового фонда, однако оказался в убытке. Какое количество лучников могло участвовать в турнире? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет.

Answer 1

Пусть участвовали n лучников, каждый из которых внёс s.

Призовой фонд окажется равным 2/3 * ns, выигрыш Робина Гуда составит 1/6 * 2/3 * ns = ns/9, и это оказалось меньше размера взноса s.

ns/9 < s

n/9 < 1

n < 9

С другой стороны, n - 1 проигравших участников суммарно получили 2ns/3 * (1 - 1/6). Следовательно, среди проигравших участников по принципу Дирихле обязательно найдётся тот, кто получил не меньше 2ns/3 * (1 - 1/6)/(n - 1), и это должно быть меньше доли, полученной Робин Гудом 2ns/3 * 1/6:

(1 - 1/6)/(n - 1) < 1/6

n - 1 > 5

n > 6

С учётом неравенства получаем 2 варианта:

n = 7, 8.