Question

Обозначим S сумму цифр числа 11*степень 2017 *. Найдите остаток от деления S на 9.

Answer 1

Есть такая теорема об остатках при делении на 3 (или на 9). Остаток от деления числа на 3 (или на 9) равен остатку от деления на 3 (или на 9) его суммы цифр. (Признак делимости на 3 (или на 9) в общем виде).
Этим и воспользуемся, найдём остаток от деления числа $11^{2017}$. Для этого представим число 11 = 9 + 2, как сумму девятки и двойки, а затем возведём в степень 2017 и разложим по формуле бинома Ньютона.

$11^{2017} = (9 + 2)^{2017} = \ \ = 9^{2017} + C_{2017}^1 *9^{2016}*2 +...+C_{2017}^{2016}*9*2^{2016}+2^{2017}$

В полученном выражении все слагаемые, кроме последнего, делятся на 9 (там присутствует 9).
Аналогично сделаем для последнего слагаемого $2^{2017}$, проделаем некоторые действия, чтобы появилась девятка.
$2^{2017} = 2* 2^{2016} = 2* 2^{3*672} = 2* (2^3)^{672} = 2*(9-1)^{672} = \ \ =2* (9^{672}-C_{672}^1*9^{671}*1 +...+1^{672}) = \ \ =2* 9^{672}-2*C_{672}^1*9^{671}*1 +...+2*1^{672}$
В полученном выражении на 9 не делится только последний член, который и является остатком.
Итак, остаток при делении числа $2^{2017}$ на 9 равен 2, значит, остаток от делении суммы его цифр на 9 даёт точно такой же остаток.

Ответ: 2