Question

При каких значениях параметра a область определения функции

$displaystyle y=log_{ frac{1}{4} }( sqrt{x}log_a5- sqrt{a}log_a5-x^{ frac{1}{2}+log_x(log_ax) }+ sqrt{a}log_ax)$

содержит ровно 4 целых числа?

Answer 1

$displaystyle y=log_{ frac{1}{4} }( sqrt{x}log_a5- sqrt{a}log_a5-x^{ frac{1}{2}+log_x(log_ax) }+ sqrt{a}log_ax)$

Основание логарифма больше 0 и не равно 1.
А подлогарифмическое выражение должно быть больше 0.
$begin{cases} displaystyle x textgreater 0\a textgreater 0\x neq 1\a neq 1\log_ax textgreater 0rightarrow x textgreater 1quad quad (text{if},,,,ain(0;1)rightarrow ,,x textless 1)\sqrt{x}log_a5- sqrt{a}log_a5-x^{ frac{1}{2}+log_x(log_ax) }+ sqrt{a}log_ax textgreater 0 end{cases}$

Разберемся с последним неравенством.
$sqrt{x}log_a5- sqrt{a}log_a5-x^{ frac{1}{2}+log_x(log_ax) }+ sqrt{a}log_ax textgreater 0\\log_a5(sqrt{x}- sqrt{a})-x^{ log_xsqrt{x}+log_x(log_ax) }+ sqrt{a}log_ax textgreater 0\\log_a5(sqrt{x}- sqrt{a})-x^{ log_x(sqrt{x}log_ax) }+ sqrt{a}log_ax textgreater 0\\log_a5(sqrt{x}- sqrt{a})-sqrt{x}log_ax+ sqrt{a}log_ax textgreater 0\\log_a5(sqrt{x}- sqrt{a})-log_ax(sqrt{x}-sqrt{a}) textgreater 0\\(sqrt{x}- sqrt{a})(log_a5-log_ax) textgreater 0$

Это неравенство легко решить методом интервалов.
Найдем нули функции: 
$sqrt{x}-sqrt{a}=0\sqrt{x}=sqrt{a}\x=a\\log_a5-log_ax=0\log_a5=log_ax\x=5$

Отсюда вытекают 3 случая.
(рассматривать случай при а от 0 до 1 нет смысла, так как область определения в это случае будет в границах от 0 до 1, и 4 целых чисел тут не наберется)
$1)quad ain (1;5)\2)quad a= 5\3)quad ain (5;+infty)$

Первый случай:
$ain(1;5)\\underline{quadquadquad 1 quad quad quad -quad quad quad a quad + quad 5 quad quad quad -quad quad quad}$
В этом случае при любых значениях а в рассматриваемом промежутке не будет 4 целых чисел в области определения.
$text{ODZ}:quad xin (a;5),,,,ain(1;5),,,rightarrow ,,,xin(1;5),,,rightarrow,,,2,3,4$

Второй случай:
При а = 5 вовсе не будет никакой области определения, так как 
$a=5\(sqrt{x}- sqrt{5})(log_55-log_5x) textgreater 0quad quad\\underline{quadquadquad1quadquadquad-quadquadquad5quadquadquadquad-quadquadquadquad}$

Третий случай:
$ain(5;+infty)\\underline{quadquadquad1quadquadquad-quadquadquad5quadquad+quadquad aquadquadquadquad-quadquadquadquad}$
В этом случае можно выделить те значения а при которых область определения функции будет содержать ровно 4 целых числа.
$text{ODZ:}quad xin(5;a)quad rightarrow quad 6,7,8,9quad rightarrow ain(9;10]$

Ответ:  $boxed{ain(9;10]}$

Answer 2

❤❤❤