Question

Через вершину В квадрата АВСД проведена прямая ВF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF= 8 дм, АВ= 4 дм.

Answer 1

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Отрезок FB перпендикулярен плоскости квадрата AВСD, значит перпендикулярен прямым АВ, ВС и BD, лежащим в плоскости. Так как отрезок FB пересекает их, то  расстояние до сторон АВ и ВС, а так же и до диагонали BD равно длине отрезка FB и равно 8 дм.

ВА⊥AD как стороны квадрата,
ВА - проекция наклонной FA на плоскость АВС, значит
FA⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
Значит, FA - расстояние от точки F до прямой AD.
Из ΔABF по теореме Пифагора:
FA = √(AB² + FB²) = √(16 + 64) = √80 = 4√5 (дм)

ВС⊥CD как стороны квадрата,
ВС - проекция наклонной FС на плоскость АВС, значит
FС⊥СD по теореме о трех перпендикулярах.
Значит, FС - расстояние от точки F до прямой СD.
ΔАBF = ΔCBF по двум катетам (АВ = ВС как стороны квадрата, BF - общая), тогда
FC = FA = 4√5 дм.

ВО⊥АС, так как диагонали квадрата перпендикулярны,
ВО - проекция FO на плоскость АВС, значит
FO⊥AC по теореме о трех перпендикулярах.
FO - расстояние от точки F до прямой АС.
ВО = BD/2 = 4√2/2 = 2√2 дм как диагональ квадрата,
Из ΔFBO по теореме Пифагора:
FO = √(FB² + BO²) = √(64 + 8) = √72 = 6√2 дм

d(F ; AB) = d(F ; BC) = d (F ; BD) = 8 дм
d(F ; AD) = d(F ; CD) = 4√5 дм
d(F ; AC) = 6√2 дм